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| 2015年2月21日 |
| 行读取的不规则三角形：行b（b>=2）给出了1/7的基数b展开式的周期部分数字。 |
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2
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0, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 5, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 4, 2, 8, 5, 7, 1, 6, 3, 1, 8, 6, 10, 3, 5, 1, 11, 2, 2, 2, 4, 9, 2, 7, 4, 14, 9, 12, 2, 10, 5, 2, 13, 10, 16, 5, 8, 2, 17, 3, 3, 3, 6, 13, 3, 10, 6, 20, 13, 17, 3, 14, 7, 3, 18, 14, 22, 7, 11, 3, 23, 4, 4, 4, 8, 17
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,7
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评论
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与b的特定值相关联的项数是周期性的：3、5、3、5，2、1、1、repeat。这是因为这些值与b（mod 7）关联，从2（mod 8）开始。
当b==0（mod 7）时，1/7的展开式要么在一个数字后终止，要么在b（mod 6）的所有其他情况下是纯循环的，因为7是素数，必须除b或与b互素。
纯循环展开式1/7的周期必须是欧拉方向7=6的除数，即{1，2，3，6}之一。
b==0（mod 7）:1（终止）
b==1（mod 7）:1（纯周期性）
b==2（mod 7）:3（纯周期性）
b==3（mod 7）:6（纯周期性）
b==4（mod 7）：3（纯周期性）
b==5（mod 7）：6（纯复发）
b==6（mod 7）：2（纯复发）
当基b是p=7的本原根时，1/7的展开式有一个完整的周期6。
以下基数的数字为1/7：
2 0, 0, 1
3 0, 1, 0, 2, 1, 2
4 0, 2, 1
5 0, 3, 2, 4, 1, 2
6 0, 5
7* 1
8 1
9 1, 2, 5
10 1, 4, 2, 8, 5, 7
11 1, 6, 3
12 1, 8, 6, 10, 3, 5
13 1, 11
14* 2
15 2
16 2, 4, 9
17 2, 7, 4, 14, 9, 12
18 2, 10, 5
19 2, 13, 10, 16, 5, 8
20 2, 17
21* 3
...
上面的星号表示终止膨胀；所有其他条目都是纯循环reptend的数字。
与具有多个项的基数b关联的每个条目都有一个大于第一个项的第二个项，但b=2除外，其中前两个项为0，0。
b==0（mod 7）（即7的整数倍）的条目出现在21、43、65。。。，此后每22学期。
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参考文献
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U.Dudley，《初等数论》，第二版，多佛，2008年，第119-126页。
哈代和赖特，《数论导论》。第6版，牛津大学出版社，2008年，第138-148页。
牡蛎矿，《数论及其历史》，多佛，1988年，第311-325页。
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链接
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配方奶粉
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当n>44时，a（n）=2*a（n-22）-a（n-44）。
总尺寸：x^3*^11+x ^9+2*x ^8+2*x^6+x^5+2*x^4+x^2+1）/（x^44-2*x*^22+1）。
（结束）
为了证明递归，请注意，如果a（n）是1/7的基-b展开式中的k’t数字，那么a（n+22）和a（n+44）是基-（b+7）和基-（b+14）展开式中相应的数字。
1/7的基数-（7k）扩展中的一位数字是k。
对于从1到6的每个d，可以表明（（7k+d）^p-1）/7的基数-（7k+d）展开中的数字，其中p是d mod 7的阶，因此1/7的数字是k中的线性表达式。
因此，对于d=3，这些数字是[5k+2、4k+1、6k+2，2k、3k+1，k]，因为这些是非负整数<7k+3和（5k+2）+（4k+1）*（7k+3）+。
g.f.来自递归。（结束）
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例子
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对于b=8，1/7=.111…，将项1贡献给序列。
对于b=9，1/7=.125125…，因此1，2，5是序列中的下一项。
对于b=10，1/7=.142857142857……，因此1、4、2、8、5、7是序列中的项。
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MAPLE公司
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F： =proc（N）#获取基2到N的行，展平。
局部b、R、p、L；
R： =空；
对于从2到N的b do
如果b mod 7=0，则
R： =R，b/7
其他的
p： =数值理论：-阶（b，7）；
五十： =换算（（b^p-1）/7，基数，b）；
如果nops（L）<p，则L:=[op（L），0$（p-nops（L））]fi；
R： =R，op（ListTools:反向（L））；
fi（菲涅耳）
日期：
R；
结束进程：
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数学
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RotateLeft[Most@#，Last@#]和@Flatten@RealDigits[1/7，#]和/@Range[2，30]//平坦(*迈克尔·德弗利格2015年9月11日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,标签,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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