A166107-OEIS公司

A166107号

与Pi的Madhava-Gregory-Leibniz公式相关的序列。

2, -10, 46, -334, 982, -10942, 140986, -425730, 7201374, -137366646, 410787198, -9473047614, 236302407090, -710245778490, 20563663645710, -638377099140510, 1912749274005030, -67020067316087550, 2477305680740159850

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,1

EG1矩阵定义于A162005型该矩阵的第一列导致函数PLS（z）＝sum（2*eta（2*m-1）*z^（2*m-2），m＝1.infinity）＝2*log（2）-Psi（z）-Psi（-z）+Psi（z/2）+Psi（-z/2）。z=n+1/2的这个函数的值与Pi的关系很奇怪。

Gauss的digamma定理导致PLS（z=n+1/2）=（-1）^n*4*sum（（-1））^（k+1）/（2*k-1），k=1..n）+2/（2xn+1）。现在我们用上面给出的序列a（n）定义PLS（z=n+1/2）=a（n/（地板（（n-2）/3）*2+1）！！，n=>0。对于n的偶数值，极限（a（2*n）/p（2*n），n=无穷大）=Pi，对于n的奇数值，限（a（2*n+1）/p，n=无限大）=-Pi。我们观察到，对于Pi=4*（1-1/3+1/5-1/7+…），a（n）/p（n）公式类似于Madhava-Gregory-Leibniz级数的部分和，见示例。出现在a（n）/p（n）公式中的“额外项”，即2/（2*n+1），显著加快了abs（a（n，p（n））的收敛速度。Pi的十进制展开式中的第一个数字出现在n:1，3，9，30，74，261，876，3056。。，囊性纤维变性。A126809号【作者修改意见，2009年10月9日】

链接

n，a（n）的表，n=0..18。

Frits Beukers，圆周率的理性探讨2000年12月，Nieuw Archief voor de Wiskunde，第372-379页。

彼得·博文，惊人的数字Pi2000年9月，Nieuw Archief voor de Wiskunde，第254-258页。

约翰内斯·梅耶尔，Pi的修正Madhava-Gregory-Leibniz公式2013年3月2日。

太平洋数学科学研究所，天空杂志中的Pi, 2000-2013.

Wislawa Szymborska，令人钦佩的数字Pi《奇迹博览会》，2002年。

埃里克。W.Weisstein，高斯-迪加玛定理。来自Wolfram MathWorld。

维基百科，Sangamagrama的Madhava.

配方奶粉

a（n）=p（n）*（-1）^n*4*和（（-1））^（k+1）/（2*k-1），k=1..n）+2/（2*n+1）

p（n）=双因子（2*n+1）/双因子（地板（（n-1）/3）*2+1）=A220747型（n）

PLS（z）=2*log（2）-Psi（z）-Psi

PLS（z=n+1/2）=a（n）/p（n）=（-1）^n*4*总和（（-1））^（k+1）/（2*k-1），k=1..n）+2/（2*n+1）

PLS（z=2*n+5/2）-PLS（z=2*n+1/2）=2/（4*n+5）-4/（4*n+3）+2/（4*n+1），这导致：

Pi=2+16*和（1/（（4*n+5）*（4*n+3）*。。无穷大）。

PLS（z=2*n+7/2）-PLS（z=2*n+3/2）=2/（4*n+7）-4/（4*n+5）+2/（4*n+3），这导致：

Pi=10/3-16*总和（1/（（4*n+7）*（4*n+5）*（4*n+3）），n=0。。无穷大）。

这两个公式的结合导致：

Pi=8/3+48*和（1/（（4*n+7）*（4*n+5）*（4*n+3）*。。无穷大）。

例子

a（n）/p（n）的前几个值是：a（0）/p；a（1）/p（1）=-4*（1）+2/3=-10/3；a（2）/p（2）=4*（1-1/3）+2/5=46/15；a（3）/p（3）=-4*（1-1/3+1/5）+2/7=-334/105；a（4）/p（4）=4*（1-1/3+1/5-1/7）+2/9=982/315；a（5）/p（5）=-4*（1-1/3+1/5-1/7+1/9）+2/11=-10942/3465；a（6）/p（6）=4*（1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11）+2/13=140986/45045；a（7）/p（7）=-4*（1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13）+2/15=-425730/135135。

MAPLE公司

A166107号：=n->A220747型（n） *（（-1）^n*4*总和（（-1，^（k+1）/（2*k-1），k=1..n）+2/（2*n+1））：A130823号：=n->地板（（n-1）/3）*2+1：A220747型：=n->双阶乘（2*n+1）/双阶乘(A130823号（n））：序列(A166107号（n），n=0..20）；

交叉参考

囊性纤维变性。A162005型,A001147号,A130823号,A025547号,A220747型,A000796号,A157142号,126809年,A133766号,A133767号,A154633号.

上下文中的序列：A191684号 A081167号 A321274型*A034429号 A242638个 A058149号

相邻序列：A166104号 A166105型 A166106号*A166108号 A166109号 A166110型

关键字

容易的,签名

作者

约翰内斯·梅耶尔，2009年10月6日，2013年2月26日，2003年3月2日

状态

经核准的