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1, 1, 5, 1, 16, 25, 1, 39, 171, 125, 1, 86, 786, 1526, 625, 1, 181, 3046, 11606, 12281, 3125, 1, 372, 10767, 70792, 142647, 92436, 15625, 1, 755, 36021, 380071, 1279571, 1553145, 663991, 78125, 1, 1522, 116368, 1880494, 9818494, 19555438, 15519952, 4608946, 390625
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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5,3
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评论
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这是r-欧拉数r＝5的情况，用A（r；n，k）表示，定义如下。设[n]表示有序集{1,2，…，n}，并且设r是非负整数。设Permute（n，n-r）表示内射映射p:[n-r]->[n]的集合，我们将其视为一次取n-r的n个数的置换。显然，|Permute（n，n-r）|=n/r！。我们说置换p在位置i处有一个例外，如果p（i）>i，则r-欧拉数A（r；n，k）被定义为具有k个例外的置换（n，n-r）中的置换数。因此，5-欧拉数计算了具有k个例外的排列（n，n-5）中的排列。其他情况请参见A008292号（r=0和r=1），A144696号（r＝2），A144697号（r=3）和A144698号（r=4）。
由于[Strosser]，对当前阵列的另一种解释涉及排列的5-例外统计（另见[Foata&Schutzenberger，第4章，第3节]）。我们在置换（n，n-5）中定义了一个置换p，如果p（i）>=i+5，则在位置i（1<=i<=n-5）处有一个5-例外。
给定置换（n，n-5）中的置换p，将~p定义为置换（n、n-5）的置换，该置换将i带到n+1-p（n-i-4）。映射~是Permute（n，n-5）的双射，其性质是：如果p在位置i上有（分别没有）一个超数，则~p在位置n-i-4上没有（分别有）一个5-超数。因此，~给出了具有k个例外的置换集和具有（n-k）5-例外的置换集中的双射。因此，以相反的顺序读取该数组的行会得到一个三角形，该三角形的条目计算排列（n，n-5）中的排列，其中有k5个例外。
示例：用置换的图像向量（p（1），…，表示置换（n，n-5）中的置换p:[n-5]->[n]，。。。，p（n-5））。在置换（12,7）中，置换p=（1,2,4,12,3,6,5）在前两个位置（i=1和2）或最后三个位置（i=5、6和7）中没有异常。置换~p=（8,7,10,1,9,11,12）仅在前三个位置和最后两个位置有5个例外。
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参考文献
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R.Strosser，1969-1970年斯特拉斯堡大学国际关系管理硕士（I.R.M.A.）。
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链接
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J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013-2015。
D.Foata和M.Schutzenberger，欧洲理工学院，arXiv:math/0508232[math.CO]，2005年；数学课堂笔记。，第138号，施普林格出版社，1970年。
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配方奶粉
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T（n，k）=（1/5！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）x（j+1）^。
T（n，n-k）=（1/5！）*和{j=5..k}（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*j^（n-4）*（j-1）*。
重复关系：
T（n，k）=（k+1）*T（n-1，k）+（n-k）*T（n-1，k-1），边界条件T（n，0）=1（n>=5），T（5，k）=0（k>=1）。
例如（具有适当的偏移）：（1/5）*（（1-x）/（1-x*exp（t-t*x））^5=1/5+x*t+（x+5*x^2）*t^2/2！+（x+16*x^2+25*x^3）*t^3/3！+。
行生成多项式R_n（x）满足R_5（x）=1的递归R_（n+1）（x）=（n*x+1）*R_n。因此，n>=6的多项式R_n（x）只有实数零（适用推论1.2）。（刘和王）。
第（n+4）行生成多项式=（1/5！）*Sum_{k=1..n}（k+4）*箍筋2（n，k）*x^（k-1）*（1-x）^（n-k）。
对于n>=5，
（1/5）*（x*d/dx）^（n-4）（1/（1-x）^5）=（x/（1-x，
（1/5）*（x*d/dx）^（n-4）（x^5/（1-x）^5）=（1/（1-x^（n+1））*Sum_{k=5..n}T（n，n-k）*x^k，
（1/（1-x）^（n+1））*和{k=0..n-5}T（n，k）*x^k=（1/5！）*和}m=0..无穷}（m+1）^，
（1/（1-x）^（n+1））*Sum_{k=5..n}T（n，n-k）*x^k=（1/5！）*Summ_{m=5..无穷}m^（n-4）*（m-1）*。
Worpitzky类型标识：
求和{k=0..n-5}T（n，k）*二项式（x+k，n）=（1/5！）*x^（n-4）*（x-1）*（x2）*（x-3）*（x-4）。
求和{k=5..n}T（n，n-k）*二项式（x+k，n）=（1/5！）*（x+1）^（n-4）*（x+2）*（x+3）*。
与斯特林数的关系（Frobenius型恒等式）：
T（n+4，k-1）=（1/5！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*（j+4）！*对于n，k>=1，二项式（n-j，k-j）*斯特林2（n，j）；
T（n+4，k-1）=（1/5！）*和{j=0..n-k}（-1）^（n-k-j）*（j+4）！*n，k>=0的二项式（n-j，k）*S（5；n+5，j+5）
T（n+5，k）=（1/5！）*和{j=0..n-k}（-1）^（n-k-j）*（j+5）！*n，k>=0的二项式（n-j，k）*S（5；n+5，j+5*n的和{i=0..j}（-1）^（j-i）*二项式（j，i）*（i+5）^n，j>=0。
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例子
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三角形开始
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n\k|。。0…….1…….2…….3…….4….5….6
=======================================================
5..|..1
6..|..1.......5
7..|..1......16......25
8..|..1......39.....171.....125
9..|..1......86.....786....1526.....625
10.|..1…181…3046…11606…12281…3125
11.|..1.....372...10767...70792..142647...92436...15625
。。。
T（7,1）=16：我们用置换的象向量（p（1），。。。，p（n-5））。Permute（7,2）中有1个例外的16个排列是（1,3）、（1,4）、（1.5）、（1.6）、（1.7）、（3,2）、（5,2），（6,2）和（7,1）、（2,1）、。
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MAPLE公司
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使用（组合）：
T： =（n，k）->1/5*加上（（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）x（j+1）^
对于从5到13 do的n
seq（T（n，k），k=0..n-5）
结束do；
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数学
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温度[n_，k_]/；0<k<=n-5：=T[n，k]=（k+1）T[n-1，k]+（n-k）T[n-1，k-1]；
T[_，0]=1；T[_，_]=0；
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黄体脂酮素
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（岩浆）
m： =5；[（&+[（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*Binominal（j+m，m-1）*（j+1）^，（n-m+1）：[0..k]]中的j）/m:k in[0..n-m]，n in[m.m+10]]//G.C.格鲁贝尔，2022年6月8日
（SageMath）
定义T（n，k）：返回（1/m）*总和（（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*binominal（j+m，m-1）*（j+1）^
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..n-m）]代表n in（m..m+10）]）#G.C.格鲁贝尔，2022年6月8日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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