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1, 1, 3, 1, 10, 9, 1, 25, 67, 27, 1, 56, 326, 376, 81, 1, 119, 1314, 3134, 1909, 243, 1, 246, 4775, 20420, 25215, 9094, 729, 1, 501, 16293, 115105, 248595, 180639, 41479, 2187, 1, 1012, 53388, 590764, 2048710, 2575404, 1193548, 183412, 6561
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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3,3
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评论
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这是r-Euler数r=3的情况，用A（r；n，k）表示，定义如下。设[n]表示有序集{1,2，…，n}，设r为非负整数。设Permute（n，n-r）表示内射映射p:[n-r]->[n]的集合，我们将其视为一次取n-r的n个数的置换。显然，|Permute（n，n-r）|=n/r！。我们说置换p在位置i处有一个例外，如果p（i）>i，则r-欧拉数A（r；n，k）被定义为具有k个例外的置换（n，n-r）中的置换数。因此，3-欧拉数计算具有k个例外的排列（n，n-3）中的排列（有关数值示例，请参阅下面的示例部分）。
由于[Strosser]，对电流阵列的另一种解释涉及排列的3-excedance统计（另见[Foata&Schutzenberger，第4章，第3节]）。我们在置换（n，n-3）中定义了一个置换p，如果p（i）>=i+3，则在位置i（1<=i<=n-3）处具有3-例外。
给定置换（n，n-3）中的置换p，将~p定义为置换（n、n-3）的置换，该置换将i带到n+1-p（n-i-2）。映射~是Permute（n，n-3）的双射，其性质是：如果p在位置i上有（分别没有）一个超数，则~p在位置n-i-2上没有（分别有）一个3-超数。因此，~给出了具有k个例外的置换集和具有（n-k）3-例外的置换集中的双射。因此，以相反的顺序读取该数组的行会得到一个三角形，该三角形的条目计算了置换（n，n-3）中具有k3-例外的置换。
示例：用置换的图像向量（p（1），…，表示置换（n，n-3）中的置换p:[n-3]->[n]，。。。，p（n-3））。在Permute（10,7）中，置换p=（1,2,4,10,3,6,5）在前两个位置（i=1和2）或在最后三个位置（i=5、6和7）中没有超越。置换~p=（6,5,8,1,7,9,10）仅在前三个位置和最后两个位置有3个例外。
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参考文献
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R.Strosser，S.éminaire de theéorie combinetoire，I.R.M.A.，斯特拉斯堡大学，1969-1970年。
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链接
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J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。二、。应用程序，arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO]，2013-2015。
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公式
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T（n，k）=（1/3！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式；
T（n，n-k）=（1/3！）*和{j=3..k}（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*j^（n-2）*（j-1）*（j-2）。
重复关系：
T（n，k）=（k+1）*T（n-1，k）+（n-k）*T。特殊情况：T（n，n-3）=3^（n-3）；T（n，n-4）=A086443号（n-2）。
例如（具有适当的偏移）：（1/3）*（（1-x）/（1-x*exp（t-t*x））^3=1/3+x*t+（x+3*x^2）*t^2/2！+（x+10*x^2+9*x^3）*t^3/3！+。
行生成多项式R_n（x）满足递归R_（n+1）（x）=（n*x+1）*R_n。因此，n>=4的多项式R_n（x）只有实数零（适用推论1.2）。（刘和王）。
第（n+2）行生成多项式=（1/3！）*Sum_{k=1..n}（k+2）*Stirling2（n，k）*x^（k-1）*（1-x）^（n-k）。
对于n>=3，
（1/3）*（x*d/dx）^（n-2）（1/（1-x）^3）=（x/（1-x，
（1/3）*（x*d/dx）^（n-2）（x^3/（1-x）^3）=（1/（1-x）^（n+1））*Sum_，
（1/（1-x）^（n+1））*和{k=0..n-3}T（n，k）*x^k=（1/3！）*和}m>=0}（m+1）^，
（1/（1-x）^（n+1））*Sum_{k=3..n}T（n，n-k）*x^k=（1/3！）*Summ_{m>=3}m^（n-2）*（m-1）*（m-2）*x^m。
Worpitzky类型标识：
Sum_{k=0..n-3}T（n，k）*二项式（x+k，n）=（1/3！）*x^（n-2）*（x-1）*（x-2）；
求和{k=3..n}T（n，n-k）*二项式（x+k，n）=（1/3！）*（x+1）^（n-2）*（x+2）*（x+3）。
与斯特林数的关系（Frobenius型恒等式）：
T（n+2，k-1）=（1/3！）*和{j=0..k}（-1）^（k-j）*（j+2）！*对于n，k>=1，二项式（n-j，k-j）*斯特林2（n，j）；
T（n+2，k-1）=（1/3！）*和{j=0..n-k}（-1）^（n-k-j）*（j+2）！*n，k>=1的二项式（n-j，k）*S（3；n+3，j+3）
T（n+3，k）=（1/3！）*和{j=0..n-k}（-1）^（n-k-j）*（j+3）！*n，k>=0的二项式（n-j，k）*S（3；n+3，j+3），其中S（3，n，k）表示3-Stirling数143495英镑（n，k）。
该数组的行多项式与2-欧拉多项式有关（参见A144696号). 例如，（1/3）*x*d/dx（x^3*（1+7*x+4*x^2）/。
对于n>=3，移位行多项式t*R（n，t）=（1/3）*D^（n-2）（f（x，t-彼得·巴拉2012年4月22日
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例子
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三角形开始
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n\k|。。0......1......2......3......4......5......6
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3..|..1
4..|..1......3
5..|..1.....10......9
6..|..1.....25.....67.....27
7..|..1.....56....326....376.....81
8..|..1....119...1314...3134...1909....243
9..|..1....246...4775..20420..25215...9094....729
...
T（5，1）=10：我们用Permute（n，n-3）中的置换p:[n-3]->[n]的图像向量（p（1），。。。，p（n-3））。Permute（5,2）中有1个例外的10个排列是（1,3）、（1,4）、（1.5）、。
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MAPLE公司
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使用（组合）：
T： =（n，k）->1/3*加上（（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）x（j+1）^[n-2]*（j+2）*（j+3），j=0..k）：
n从3到11 do
seq（T（n，k），k=0..n-3）
结束do；
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数学
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T[n_，k]/；0<k<=n-3：=T[n，k]=（k+1）T[n-1，k]+（n-k）T[n-1，k-1]；
T[_，0]=1；T[_，_]=0；
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黄体脂酮素
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（岩浆）m:=3；[（&+[（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*Binominal（j+m，m-1）*（j+1）^，（n-m+1）：[0..k]]中的j）/m:k in[0..n-m]，n in[m..13]]#G.C.格鲁贝尔2022年6月4日
（SageMath）
定义T（n，k）：返回（1/m）*总和（（-1）^（k-j）*二项式（n+1，k-j）*binominal（j+m，m-1）*（j+1）^
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..n-m）]代表n in（m..13）]）#G.C.格鲁贝尔2022年6月4日
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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