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给定维空间d中给定数量的多超立方体/多肽类n的形状数(n,d)。
0
1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 8, 7, 1, 18, 29, 27, 26, 1, 60, 166
抵消
1,5
评论
a(1/2*n*(n-1)+d)给出了n>0,d>0,d<=n时形状(n,d)的值。对于d>n,请使用a(1/2*n*A005519号是a(n)。
多聚体形状是由n个连续的超立方体构成的形状,它在旋转时不变,但不一定在“翻转”时不变,即镜像是不同的。有关何时考虑或不考虑翻转的详细信息,请参见示例。
A000988号给出形状(n,2)的值,例如a(1/2*n*(n-1)+2)和A000162号对于形状(n,3),例如a(1/2*n*(n-1)+3。
A005519号给出了形状(n,n)的值,例如a(1/2*n*(n+1))。这些形状始终只能用n-1维表示,因此不包含镜像或“翻转”形状。
形状(n,d)是所有具有n个点的形状的并集,可以用尺寸x表示x从1到d-1的x,其中不包括“翻转”形状,加上必须用至少d个尺寸表示n个点(其中包括“翻转的”形状)的所有形状。A049429号给出了[1,d-1]和n中x的值。
具体来说,如果b(m)定义了序列A049429号b(1/2*n*(n+1)+x)是所有形状的术语,这些形状必须至少以x维表示,并且包含n个点。
没有一个序列描述具有n个点和正好d个维度的形状,对于这些形状,“翻转”的形状被认为是不同的,所以这个公式不能完全表示为其他公式的和。
计算这个序列的主要困难在于a)快速实现一个集合(如一组点[形状]和一组形状[形状(n,d)]),特别是关于点的旋转,以及b)消除重复项的困难。
后一种情况很困难,因为为了确定两个形状是否相同,必须计算所有可能的R,以确定形状X与形状Y方向相同的R。平移向量T是基于R唯一给定的,但需要找到每个形状的边界超立方体相对于d的最小点。
理想情况下,必须找到b的好算法,特别是如果可以确定“确定方向”,以便在比较之前使用确定方向确定所有形状的方向,因此比较仅包括比较X和Y中的点,以确保它们相同。
此外,由于某些向量是等价的,因此应该可以减少基数向量上的循环,例如将(1,0)或(-1,0)加到点(0,0)上,因为形状具有对称性,因此两个新形状都是等价的。
配方奶粉
设一个形状由一组n个积分点组成,这样所有点都与至少一个其他点相邻,并且所有点都通过邻接直接或间接连接。
设两点相邻,当且仅当点A和点B之间的距离由平行于三维空间中笛卡尔轴之一的单位向量给出时。
例如,如果d是2,n是2,则形状可以由点(0,0)和(1,0)组成。这些点之间的距离就是平行于x轴的单位向量(1,0)。
当且仅当存在某个旋转单位矩阵R和某个平移向量T时,X和Y两个形状被认为是相同的,其中点集X*R+T等于点集Y。单位旋转R必须具有行列式1。
R的行列式-1被视为“翻转”,因此是不允许的。然而,应该注意的是,总是存在一个R[d+1],使得R[d+1]=[[R0][0 det(R)]],它总是有一个行列式1。
因此,当考虑高阶维度时,现在可以在较低维度中进行翻转。换句话说,形状只有在必须使用至少d个维度表示时才是单面的。
基数向量集由与给定维度d的笛卡尔轴平行的所有单位向量组成。因此,当d为2时,基数向量集包含{(1,0)(0,1)(-1,0),(0,-1)}。
然后,我们递归地定义形状(n,d)如下:
形状(1,d)由包含d-空间中单个点(0,0,…,0)的单个集组成,例如,形状(1、d)={{(0,O,…,O)}}表示所有d。
形状(n+1,d)由以下生成的所有形状组成:
对于形状(n,d)中的每个形状S:
对于S中的每个点P:
对于基数向量集中的每个向量V:
如果P+V不在S中:
形状(n+1,d)包含由S和{(P+V)}的并集组成的形状
a(1/2 n*(n-1)+d)=集合Shape(n,d)中的形状数。
例子
例1:a(9)给出了Shape(4,3)中的形状数。我们通过使用两行文本来描述这些三维形状,其中“O”表示z=0平面中的一个块,“2”表示两个堆叠块,第一个位于z=0面,第二个位于z=1平面。
形状(4,3)包括
OOOO。。0 .0. 00 00. 0. 0. .0
.... 000 000 00 .00 20 02 20
第二个形状被认为与
OOO公司
…O型
因为它可以用二维来表示,我们允许3(d=3),所以这两个形状是相同的,尽管被翻转。然而,最后两个形状需要3个维度来表达,并且因为这等于或大于d=3,所以翻转的形状被认为是不同的。
这相当于说,在三维空间中,没有物理方法可以旋转或移动第二个到最后一个形状,使其看起来像最后一个。
例2:a(8)给出了Shape(4,2)中的形状数。这相当于由4个正方形组成的单面多边形集。
关键词
坚硬的,更多,非n,
作者
杰弗里·雅各布斯(timehorse(AT)starship.python.net),2004年12月3日
扩展
链接更新者威廉·雷克斯·马歇尔2009年12月16日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年9月22日05:46。包含376097个序列。(在oeis4上运行。)