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| A091752号 |
| 广义Stirling2阵列（-1,2）S2。n>=1和2<=m<=2*n的不规则三角形a（n，m）。 |
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8
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1, 2, -2, 1, 40, -40, 20, -6, 1, 2240, -2240, 1120, -360, 80, -12, 1, 246400, -246400, 123200, -40320, 9520, -1680, 220, -20, 1, 44844800, -44844800, 22422400, -7392000, 1786400, -332640, 48720, -5600, 490, -30, 1, 12197785600, -12197785600, 6098892800, -2018016000, 493292800
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这个a（n，m）数组出现在正规排序公式（（1/x）*（d_x）^2）^n=Sum_{m=2..2*n}a（n、m）*x^（m-3*n）*（d_x）^m，n>=1中，带有导数算子d_x:=d/dx。
这是Blasiak等人参考文献中针对非负r和S考虑的广义Stirling2阵列S_{r，S}（n，k）（此处k=m）的扩展A078740号。另请参阅此处给出的Schork参考资料。
此数组的行长度序列为[1,3,5,7,9,11，…]=A005408号（n-1），n>=1。
Carlitz的论文中处理了这些广义Stirling2阵列（r=lambda+mu，s=mu），并给出了等式（4）。参见公式部分了解当前情况mu=2，lambda=-3，以及Carlitz的a{n，s-1}=a（n，s）（这里s=m）-Wolfdieter Lang公司2019年12月16日
对于（不规则）三角形（-1，s）S2，对于s>=1，W.Schulte猜想a（s；n，m）=T（s；（s+1）*n-m-1，m-s），对于n>=1且m=s，s+1。。。，s*n，三角形T的行多项式RT（s；n，x）=和{m=0..s*n}T（s；n，m）*x^m，n>=0，由罗德里格斯型公式exp（x^（s+1）/（s+1。因此，（-1，s）S2的行是T（s）的每（s+1）个向上反对偶，但偏移量m=s而不是m=0。
通过证明（-1，s）S2的Carlitz递推，证明了该猜想，但偏移量n=0，m=0；即，a（s；n+1，m+s）=：aHat（s；n，m）=和{j=0..s}二项式（s，j）*fallfac（s+m-j-（s+1）*n，s-j）*aHat。。。，s*n，对于m<0和m>s*n而言，aHat（s；0，0）=1和aHat；n，m）=0。下降阶乘是fallfac（x，n）。当aHat（s；n，m）=T（s；（s+1）*n-m，m）时，这会导致T（s）的递归，它等价于行多项式RT（s；m，x）的递归性，即RT（s，x）=和{j=0..s}二项式（s，j）*x^j*fallfac（s-j-n，s-j）*RT（s）；n-。反过来，可以通过直接从Rodrigues型定义获得的RT（s）的更简单的递推，即RT（s；n，x）=x^s*RT（s，n-1，x）-（d/dx）RT（s、n-1、x），n>=1的归纳证明这一点，其中RT（s：0，x）=1。
三角形T（s）的例子f，即行多项式{RT（s；n，x）}_{n>=0}，是e（s；T，x）=exp（（x^（s+1）-（x-T）^（s+1））/（s+1”）。这可以从简单的RT（s）递归得到证明，导致（d/dt+d/dx）E（s；t，x）=x^s*E（s，t，x。在使用E（s；t，x）=1*exp（x^（s+1）/（s+1）+f（s；t，x））后，如果f（s）0，x）=-x^。
（-1，s）S2的显式形式是a（s；n，m）=（-1）^（n*s-m）*（（s+1）*n-m-1）/（（s+1）^（n-1）*（n-1！）*求和{j=0..floor（（m-s）/（s+1））}（-1）^j*二项式（n-1，j）*二项法（（s+1。可以证明T（s；n，m）的相应公式，方法是证明它满足T（s）递推T（s，n，m。
当前条目是实例s=2，公式如下。（结束）
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链接
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莱昂纳德·卡利茨，关于数列，美国数学杂志。，54,4 (1932) 739-752.
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配方奶粉
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a（n，m）=（（-1）^m）/m！）*求和{p=2..m}（-1）^p*二项式（m，p）*Product_{j=1..n}fallfac（p-3*（j-1），2），n>=1，2<=m<=2*n，否则为0。根据Blasiak等人的参考（参见A078740号)r=-1，s=2，k=m。
递归：a（n，m）=和{p=0..2}二项式（2，p）*fallfac（-3*（n-1）+m-p，2-p）*a（n-1，m-p），n>=2，2<=m<=2*n，a（1，2）=1，否则为0。根据Schork参考的等式（19）重写（参见A078740号)r=-1，s=2。fallfac（n，m）：=A008279号（n，m）（下降阶乘三角形）。
递归（Carlitz）：对于n>=2，m>=1，a（n m）=a（n-1，m-2）-2*（3*n-（m+2））*a-Wolfdieter Lang公司2019年12月16日
a（n，m）=T（3*n-m-1，m-2），对于n>=1且m=2，3。。。，2*n，不规则三角形由（-1）^n*exp（x^3/3）*（d/dx）^n exp（-x^3/3）=RT（n，x）=Sum_{k=0..2*n}T（n，k）*x^k定义，对于n>=0。T（n，k）见A331816型.
递推RT（n，x）=x^2*RT（n-1，x）-（d/dx）RT（n-1,x），n>=1，RT（0，x）=1，表示T递推T（n，k）=T（n-1、k-2）-（k+1）*T（n-1）*x*RT（n-2，x）+（n-1，使用前一个递归并插入导数。这转化为不规则三角形T的明显进一步递推。它用于证明指数移位aHat（n，m）=a（n+1，m+2）的Carlitz递推。
不规则三角形的例f，即行多项式RT的例f为e（t，x）=exp（（x^3-（x-t）^3）/3）。请参阅上面的注释以获得证明（此处设置s=2）。
显式形式是a（n，m）=（-1）^m*（3*n-m-1）/（3^（n-1）*（n-1！）*求和{j=0..floor（（m-2）/3）}（-1）^j*二项式（n-1，j）*二项法（3*（n-1-j），m-2-3*j），对于n>=1和2<=m<=2*n。
（结束）
T（n，k）=9^n*Sum_{j=1..k}（-1）^（k-j）*w（n，j）/（（k-j）*j！）其中w（n，k）=（伽马（n-k/3）*伽马（（1-k）/3+n））/（伽玛（（1-k）/3）*γ（-k/3））-彼得·卢什尼2020年2月5日
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例子
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三角形开始：
{1},
{2, -2, 1},
{40, -40, 20, -6, 1},
{2240, -2240, 1120, -360, 80, -12, 1},
{246400, -246400, 123200, -40320, 9520, -1680, 220, -20, 1}.
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数学
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w[n_，k_]：=（伽马[n-k/3]伽马[1/3+n-k/3）/（伽马[1-3-k/3]伽马[-k/3）；
T[n_，k_]：=9^n求和[（-1）^（k-j）w[n，j]/（（k-j）！j！），{j，1，k}]；
表[Round[T[n，k]]，{n，1，6}，{k，2，2n}](*彼得·卢什尼2020年2月5日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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