A081120-OEIS公司

A081120型

Mordell方程y^2=x^3-n的积分解的个数。

1, 2, 0, 4, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 4, 1, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 6, 4, 2, 0, 0, 0, 4, 2, 4, 2, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 4, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 6 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,2`
	评论	`对于所有非零n，莫代尔方程有有限个积分解。` `Gebel、Pethö和Zimmer（1998）计算了\|n\|<=10^4的解。Bennett和Ghadermarzi（2015）将这一界限扩展到\|n\|<=10^7。` `序列A081121号给出了没有积分解的n。请参见A081119号对于y^2＝x^3+n的积分解的数目。` `发件人宋嘉宁，2022年8月24日：（开始）` `如果A060951型（n） =0（即椭圆曲线y^2=x^3-n的秩为0），则：` `-如果n的形式为432t^6，则a（n）=2；` `-如果n是立方体，a（n）=1；` `-否则a（n）=0。` `以下是y^2=x^3+n的扭转群的完整描述，使用O表示无穷远点（参见Silverman椭圆曲线算术第十章练习10.19）：` `-如果n=t^6是六次幂，那么扭转群由O，（2t^2，+-3t^3），（0，+-t^3）和（-t^2，0）组成。` `-如果n=t^2不是六次幂，则扭转群由O和（0，+-t）组成。` `-如果n=t^3不是六次幂，则扭转群由O和（-t，0）组成。` `-如果n的形式是-432t^6，那么扭转群由O和（12t^2，+-36t^3）组成。` `-在所有其他情况下，扭转群是平凡的。` `所以y^2=x^3+n上的一个扭点，而不是O，是一个积分点。如果y^2=x^3+n的秩为0，那么y^2=x^3+n上的所有积分点都是O以外的扭点。` `注意，这个结果特别意味着，对于所有t，如果A060951（n） =0：椭圆曲线y^2=x^3-n*t^6可以写成（y/t^3）^2=（x/t^2）^3-n，因此它具有与y^2=x^3-n相同的Mordell-Weil群（因此具有相同的秩和同构扭群）`
	参考文献	`T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，第191页。`
	链接	`Jean-François Alcover，n=1..10000时的n，a（n）表[根据J.Gebel的工作，T.D.Noe提供了10000个术语，之前的b文件中存在错误。]` `M.A.Bennett和A.Ghadermarzi，莫代尔方程：一种经典方法.LMS J.计算。数学。18 (2015): 633-646.doi:10.1112/S14615701500182 arXiv:1311.7077` `J.Gebel、A.Pethö和H.G.Zimmer，关于莫代尔方程《数学合成》。110:3 (1998): 335-367.` `J.Gebel，Mordell曲线上的整数点[缓存副本，在原网站tnt.math.se.tmu.ac.jp于2017年关闭后]` `约瑟夫·希尔弗曼（Joseph H.Silverman），椭圆曲线的算法。` `埃里克·魏斯坦的数学世界，莫德尔曲线。` `维基百科，莫代尔曲线。`
	例子	`a（4）=4是指（x，y）=（2，+-2）和（5，+-11）。`
	数学	（这种简单的方法给出了正确的结果，最多n=1000）xmax[_]=10^4；做[xmax[n]=10^5，{n，{366775999}}]；做[xmax[n]=10^6，{n，{207，307，847}}]；f[n_]：=（x=楼层[n^（1/3）]-1；s={}；而[x<=xmax[n]，x++；y2=x^3-n；如果[y2>=0，y=Sqrt[y2]；如果[IntegerQ[y]，AppendTo[s，y]]]；s）；a[n_]：=（fn=f[n]；如果[fn=={}，0，2长度[fn]-如果[First[fn]==0，1，0]]）；表[an=a[n]；打印[“a[”，n，“]=”，an]；安，{n，1100}](Jean-François Alcover公司2012年3月6日）
	交叉参考	`囊性纤维变性。A081119号，A081121号。请参阅A134109号用于其他版本。` `上下文中的序列：A123565型 A258701型 A246160型A200038型 A249093型 A102392号` `相邻序列：A081117号 A081118号 A081119号A081121号 A081122号 A081123号`
	关键词	`美好的，非n`
	作者	`T.D.诺伊2003年3月6日`
	扩展	`编辑人马克斯·阿列克塞耶夫2021年2月6日`
	状态	`经核准的`