A014442-OEIS公司

A014442号

n^2+1的最大素数因子。

2, 5, 5, 17, 13, 37, 5, 13, 41, 101, 61, 29, 17, 197, 113, 257, 29, 13, 181, 401, 17, 97, 53, 577, 313, 677, 73, 157, 421, 53, 37, 41, 109, 89, 613, 1297, 137, 17, 761, 1601, 29, 353, 37, 149, 1013, 73, 17, 461, 1201, 61, 1301, 541, 281, 2917, 89, 3137, 13, 673 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,1`
	评论	`除a（1）=2外，所有a（n）都是勾股素数，即形式为4k+1的素数。猜想：每个毕达哥拉斯素数在a（n）中至少出现一次。` `问题11831【Ozols 2015】是为了证明lim-inf a（n）/n为零-迈克尔·索莫斯2015年5月11日` `发件人迈克尔·卡尔特曼2015年6月10日：（开始）` `对于所有数字k inA256011型，a（k）<k。` `猜想：每个毕达哥拉斯素数p在序列的前p个整数中出现两次。此外：如果a（i）=a（j）=p，且i和j都小于p（且i不等于j），则i+j=p和ij==1（mod p）。[如果a（k）也=p，那么k>p；实际上，k在A256011型两个例子：a（2）=a（3）=5，其中2+3=5和23=6==1（mod 5）；a（4）=a（13）=17，其中4+13=17和413=52==1（mod 17）。` `（结束）` `这个推测是正确的。如果p是勾股素，-1是二次残差mod p。那么-1正好有两个平方根mod p，也就是说，正好有两个整数x，y，其中1<=x，y<=p-1，使得x^2==y^2==-1（mod p），也就是说，p除以x^2+1和y^2+1，而且y==-x（mod p），所以x+y=p，xy==-x^2==1（mod p）。x^2+1的任何其他素因子q都必须除以（x^2＋1）/p，因为x^2+1<p^2，所以q<p，所以a（x）=p，类似地，a（y）=p-罗伯特·伊斯雷尔2015年6月11日` `猜想：如果n是偶数且a（n）>n，则n+a（nA256011型示例：2+a（2）=2+5=7，4+a（4）=4+17=21，6+a（6）=6+37=43，依此类推。注意18+a（18）不在A256011型但18本身就是-迈克尔·卡尔特曼2015年6月13日` `这也是事实。假设A=A（n）>n.n^2+1是奇数，所以A是奇数素数；n^2+1=AB，其中B<A也是奇数。那么（A+n）^2+1=A（A+2n+B）和A+2n+B是偶数。因此，A+2n+B的最大素因子最多为（A+2*n+B）/2<A+n，而A<A+n-罗伯特·伊斯雷尔2015年6月17日` `Størmer证明了a（n）随n趋于无穷大。Chowla证明了a（n）>>log log n。Schinzel证明了lim-inf a（n）/log log n>=4，并且，使用对数的线性形式的下界，这个不等式可以推广到一般的二次多项式，对于不可约多项式，2被4/7取代，对于可约多项式，2/7取代-山田友弘2017年4月15日` `根据Hooley的说法，Chebyshev的一份未发表的手稿包含了一个结果，即a（n）/n是无界的，这个结果是首次发表的，并由Markov充分证明-查尔斯·格里特豪斯四世2018年10月27日` `注意，a（n）是最大的素数p，因此n^（p+1）==-1（mod p）-托马斯·奥多夫斯基2019年11月8日`
	参考文献	`A.A.Markov，《形式1+4x^2的初级研究》，《圣佩特斯堡科学公报》3（1895年），第55-59页。` `H.Rademacher，初等数论讲座，第33-38页。`
	链接	`T.D.Noe，n=1..10000时的n，a（n）表` `S.Chowla，x^2+1的最大素因子，J.伦敦数学。《社会分类》第10卷（1935年），第117-120页。` `J.M.Deshouillers和H.Iwaniec，关于n^2+1的最大素因子《傅里叶学会年鉴》，第32卷第4期（1982年），第1-11页。` `克里斯托弗·霍利，关于二次多项式的最大素因子《数学学报》117（1967），第281-299页。` `Jori Merikoski，n^2+1的最大素数因子，arXiv:1908.08816[math.NT]，2019年。` `R.Ozols，问题11831，《美国数学月刊》，第122卷，第4期（2015年4月），第390页` `A.Schinzel，关于Gelfond的两个定理及其应用《阿里斯学报》。13（1967），第177-236页。` `卡尔·斯特默，Quelques théorèmes sur l’équation de Pell x^2-Dy^2=+-1 et leurs应用（法语），Skrifter Videnskabs-selskabet（Christiania），Mat.-Naturv。Kl.I（2），48页。`
	配方奶粉	`a（n）=A006530号（1+n^2）-R.J.马塔尔2017年1月28日`
	MAPLE公司	`seq（最大值（数值理论：-系数集（n^2+1）），n=1..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月11日`
	数学	`表[FactorInteger[n^2+1，FactorComplete->True][[-1，1]]，{n，5！}]。。和/或。。表[Last[Table[#[[1]]]&/@FactorInteger[n^2+1]]，{n，5！}]。。和/或。。PrimeFactors[n_]：=扁平[表[#[[1]]，{1}]&/@FactorInteger[n]]；表[PrimeFactors[n^2+1][[-1]]，｛n，5！｝](弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年8月12日）` `a[n_]：=如果[n<1，0，FactorInteger[n n+1][[All，1]]//最后]；(迈克尔·索莫斯2015年5月11日）` `表[FactorInteger[n^2+1][[-1，1]]，{n，80}](文森佐·利班迪2015年6月17日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）largeasqp1（m）={对于（a=1，m，y=a^2+1；f=系数（y）；v=分量（f，1）；v1=v[长度（v）]；打印1（v1“，”）}\\西诺·希利亚德2004年6月12日` `（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，Vecrev（因子（nn+1）[，1]）[1]）}/迈克尔·索莫斯2015年5月11日*/` `（岩浆）[最大值（素数除数（n^2+1））：n in[1.60]]//文森佐·利班迪2015年6月17日` `（GAP）列表（[1..60]，n->反向（因子（n^2+1））[1]）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月27日`
	交叉参考	`包括来自A002496号.` `囊性纤维变性。A002144号（毕达哥拉斯素数：形式4n+1的素数）。` `囊性纤维变性。A256011型.` `囊性纤维变性。A076605型（n^2-1的最大素因子）。` `上下文中的序列：A089793号 A076570号 A089121号A281793型 A259036型 A081235号` `相邻序列：A014439号 A014440型 A014441号A014443号 A014444号 A014445号`
	关键词	`非n，容易的`
	作者	`格伦·伯奇（gburch（AT）erols.com）`
	状态	`经核准的`