%I#108 2023年3月11日08:17:15

%S 2,5,5,17,13,37,5,13,41101,61,29,17197113257,29,13181401,17,97，

%电话：53577313677,73157421,53,37,41109,896131297137,177611601，

%U 29353,371491013,73,174611201,6113015412812917,893137,13673

%N N^2+1的最大素因子。

%除了a（1）=2之外，所有a（n）都是勾股素数，即形式为4k+1的素数。猜想：每个毕达哥拉斯素数在a（n）中至少出现一次。

%C问题11831【Ozols 2015】是为了证明lim-inf a（n）/n为零_Michael Somos，2015年5月11日

%C发件人：迈克尔·卡尔特曼，2015年6月10日：（开始）

%C对于A256011中的所有数字k，a（k）<k。

%C猜想：每个毕达哥拉斯素数p在序列的前p个整数中出现两次。此外：如果a（i）=a（j）=p，且i和j都小于p（且i不等于j），则i+j=p和ij==1（mod p）。[如果a（k）也=p，那么k>p；实际上，k在A256011中。]两个示例：a（2）=a（3）=5，其中2+3=5和2*3=6==1（mod 5）；a（4）=a（13）=17，其中4+13=17和4*13=52==1（mod 17）。

%C（结束）

%C这个猜想是正确的。如果p是毕达哥拉斯素数，-1是二次剩余mod p。那么-1正好有两个平方根mod p，也就是说，恰好有两个整数x，y，1<=x，y<=p-1，这样x^2==y^2==-1（mod p），也就是，p除以x^2+1和y^2+1，而且y==-x（mod p），所以x+y=p，x*y==-x^2===1（mod）。x^2+1的任何其他素因子q都必须除以（x^2＋1）/p，因为x^2+1<p^2，所以q<p，所以a（x）=p，类似地，a（y）=p.-罗贝尔·伊斯雷尔，2015年6月11日

%C猜想：如果n是偶数且a（n）>n，则n+a（n”）在A256011中。示例：2+a（2）=2+5=7，4+a（4）=4+17=21，6+a（6）=6+37=43，依此类推。注意，18+a（18）不在A256011中，但18本身是。-Michael Kaltmann，2015年6月13日

%C这也是事实。假设A=A（n）>n.n^2+1是奇数，所以A是奇数素数；n^2+1=A*B，其中B<A也是奇数。那么（A+n）^2+1=A*（A+2*n+B）和A+2*n+B是偶数。因此，A+2*n+B的最大素因子最多为（A+2*n+B）/2<A+n，而A<A+n_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年6月17日

%C Störmer证明a（n）与n趋于无穷大。Chowla证明a（n）>>log log n。Schinzel表明lim-inf a（n”）/log log n>=4，并且使用线性对数形式的下限，这个不等式可以推广到一般二次多项式，对于不可约多项式，用4/7替换2，对于可约多项式则用2/7替换_山田友弘2017年4月15日

%C根据Hooley的说法，Chebyshev的一份未发表的手稿包含了a（n）/n是无界的结果，这是Markov首次发表并充分证明的_Charles R Greathouse IV_，2018年10月27日

%注意，a（n）是最大素数p，使得n^（p+1）==-1（mod p）。-_托马斯·奥多夫斯基，2019年11月8日

%D A.A.马尔科夫（D A.A.Markov），《形式1+4x^2》，《圣佩特斯堡科学公报》3（1895年），第55-59页。

%D H.Rademacher，初等数论讲座，第33-38页。

%H T.D.Noe，n的表格，n的a（n）=1..10000</a>

%H S.Chowla，<a href=“http://doi.org/10.112/jlms/s1-10.1.117“>x^2+1的最大素因子，J.London Math.Soc.10（1935），117-120。

%H J.M.Deshouillers和H.Iwaniec，<a href=“http://dx.doi.org/10.5802/aif.891“>关于n^2+1的最大素因子，《傅里叶学会年鉴》，32第4期（1982年），第1-11页。

%克里斯托弗·胡利，<a href=“https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485889502“>关于二次多项式的最大素因子，《数学学报》117（1967），第281-299页。

%H Jori Merikoski，<a href=“https://arxiv.org/abs/1908.08816“>n^2+1的最大素数因子，arXiv:1908.08816[math.NT]，2019。

%H R.Ozols，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.122.04.390“>11831题，《美国数学月刊》，第122卷，第4期（2015年4月），第390页

%H A.Schinzel，<A href=“http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa13/aa13113.pdf“>关于Gelfond的两个定理及其一些应用，Acta Arith.13（1967），177--236。

%H Carl Störmer，<a href=“http://www.archive.org/stream/skrifterudgivnea1897chri#page/n79/mode/2up“>Quelques théorèmes sur l’équation de Pell x^2-Dy^2=+-1 et leurs applications（法语），Skrifter Videnskabs-selskabet（克里斯蒂安尼亚），Mat.-Naturv.Kl.I（2），48页。

%F a（n）=A006530（1+n^2）_R.J.Mathar，2017年1月28日

%p序列（最大值（数值理论：-系数集（n^2+1）），n=1..100）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年6月11日

%t表[FactorInteger[n^2+1，FactorComplete->True][[-1,1]]，{n，5！}]。。和/或。。表[Last[Table[#[[1]]]&/@FactorInteger[n^2+1]]，{n，5！}]。。和/或。。PrimeFactors[n_]：=扁平[表[#[[1]]，{1}]&/@FactorInteger[n]]；表[PrimeFactors[n^2+1][[-1]]，{n，5！}]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2009年8月12日*）

%t a[n_]：=如果[n<1，0，FactorInteger[nn+1][[All，1]]//最后]；（*迈克尔·索莫斯，2015年5月11日*）

%t表[FactorInteger[n^2+1][[-1，1]]，{n，80}]（*_Vincozo Librandi_，2015年6月17日*）

%o（PARI）largeasqp1（m）={对于（a=1，m，y=a^2+1；f=系数（y）；v=分量（f，1）；v1=v[长度（v）]；打印1（v1“，”））}\\_Cino-Hilliard_，2004年6月12日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，Vecrev（因子（n*n+1）[，1]）[1]）}；/*_Michael Somos，2015年5月11日*/

%o（岩浆）[最大值（素数除数（n^2+1））：n in[1..60]]；//_Vincenzo Librandi_，2015年6月17日

%o（GAP）列表（[1..60]，n->反向（因子（n^2+1））[1]）；#_Muniru A Asiru_，2018年10月27日

%Y包括A002496中的底漆。

%Y参见A002144（勾股素数：形式4n+1的素数）。

%Y参考A256011。

%Y参考A076605（最大素数n^2-1）。

%K nonn，简单

%O 1，1

%格伦·伯奇（gburch（AT）erols.com）