的表示数通过正方形,允许零并区分符号和顺序,表示为.特殊情况对应于两个正方形的通常表示简单(例如,Hardy和Wright 1979年,第241页;Shanks1993年,第162页)。
例如,考虑将5表示为两个平方和的方法的数量:
所以.同样,
所以.
这个Wolfram语言功能方形R[k个,n个]给予.相反,函数权力陈述[n个,k个,2]给出了的无序无符号表示的列表作为列表正方形,例如,给出作为5的唯一“唯一”表示。
功能与莱布尼茨级数和高斯圆问题(希尔伯特和科恩·沃森1999年,第27-39页)。它也由逆Möbius给出序列的变换和(斯隆和普劳夫,1995年,第22页)。这个的平均顺序是,但正常顺序是0(Hardy 1999,第55页)。
雅各比给出了对于这些案例、4、6和8(雅各比1829;哈代和赖特1979,第316页;哈代1999年,第132页)。案例通过等式计算得出、4和6系数的雅可比θ函数 ,、和.解决方案其中12个是刘维尔(1864、1866)和艾森斯坦发现的(哈代和赖特1979年,第316页),格拉舍(1907)给出了最多然而和包含的函数仅定义为模函数,但不是算术函数(Hardy和Wright,1979年,第316页)。拉马努詹(2000)将Glaisher表扩展至.Boulyguine(1915)发现了其中每个函数都有一个算术定义(哈迪和赖特1979年,第316页;迪克森2005年,第317页)。
Dirichlet发现它是一个涉及二次互易符号的有限和。和由艾森斯坦、史密斯和明可夫斯基发现。莫代尔,Hardy和Ramanujan开发了一种适用于由奇数平方(Hardy 1920;Mordell 1920,1923;Estermann 1937;Hardy 1999)。
要从多少方面找出正整数可以表示为正方形忽略顺序和符号,因子为
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(15)
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其中秒是质数表单的 和s是质数表单的 .如果没有这样的整数表示因为很奇怪,那么就没有表示。否则,定义
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(16)
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的表示数作为两个平方的和忽略顺序和符号然后由给出
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(17)
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(Beiler 1966年,第140-142页)。
同样,对于由提供
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(18)
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A类正整数可以表示为两个平方和若(iff)每个首要的因素表单的作为一种均匀的力量出现,正如欧拉首先建立的那样1738年。在四平方和定理,拉格朗日证明了正整数可以写为总和最多四个正方形,虽然除了数字外,四个可以减为三个属于表格 .
迪奥芬图斯首先研究了一个等价于求三个平方和的问题,并表示,对于这个问题,不得为以下形式然而这是不充分的条件(Dickson 2005,第259页)。1621年,巴赫特随后被排除在外和最后,费马(约1636年)指出,巴赫特的情况未能排除,149等,并给出了正确的充分条件不得为以下形式,所以不符合形式,或同等.
1636年,费马表示不表单的整数是三个有理平方的和,1638年,笛卡尔对整数平方证明了这一点。1658年,费马随后声称(但没有证明),哪里是形式的任意素数(即形式的任何质数)是三个平方的和。1775年,拉格朗日制作了一些费马断言的进展,但无法完全证明。1785年,勒让德注意到费马的断言适用于所有奇数(不仅仅是素数),并且然后给出了一个不完整的证据,证明每个数字或其两倍都是三个方块。
Beguelin(1774)得出结论,每个与1、2、3、5或6(mod 8)同余的整数都是三个平方的和,但没有足够的证据(Dickson 2005,第15页)。然后,在勒让德的1798年无名之地,Legendre证明了每个不符合形式的正整数或是没有公因数的三个平方的和(纳格尔1951年,第194页;Wells 1986,第48和56页;哈代1999年,第12页;萨文2000).
每当有一个首要的除数属于表格 到古怪的 权力; 它加倍了到达新的首要的 属于表格 .前几个值是1、4、4、0、4、8、0、0、四、四、八、0、零、八、零、四、8、4、,0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, ... (OEIS)A004018号).A类兰伯特级数由提供
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(19)
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(哈代和赖特,1979年,第258页)。这个生成函数对于由提供
哪里是一个雅可比椭圆函数和是一个q个-Pochhammer符号.
它由以下公式明确给出
哪里是的数字约数属于 表单的 (希尔伯特和科恩·沃森1999年,第37-38页;哈代1999年,第12页)。
服从意外的身份
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(26)
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对于,
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(27)
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和
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(28)
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(哈代1999年,第82页)。
求和函数的前几个值(例如,Hardy和Wright 1979,p.270)定义为
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(29)
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是0、4、8、8、12、20、20、二十、二十四、二十八、三十六。。。(OEIS)A014198号),其中Shanks(1993)定义的修改函数是
的显式值下表给出了10的几次幂(Mitchell 1966;Shanks 1993,第165和234页)。
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0 | 5 |
1 | 37 |
2 | 317 |
三 | 3149 |
4 | 31417 |
5 | 314197 |
6 | 3141549 |
8 | 314159053 |
10 | 31415925457 |
12 | 3141592649625 |
14 | 31415926535058 |
渐近结果包括
哪里是一个常量,称为希尔皮斯基常数.上面的左图显示
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(34)
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具有用曲线包络线表示,右图显示
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(35)
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值为表示为实心水平线。
解决方案的数量
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(36)
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对于给定的不受符号或相对大小的限制,、和由提供.高斯证明,如果是无平方的和,然后
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(37)
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(Arno 1992),其中是类别编号属于.
这个生成函数对于由提供
一般来说,
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(40)
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对于,
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(41)
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的标识,和由提供
哪里和
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(44)
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(雅各比1829,§40-42;史密斯1965;哈代和赖特1979,第314页)。
对于,
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(45)
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哪里
这个方程式和那个方程式由Liouville(18641866)提供。
哪里
是所谓的奇异级数、和是τ函数.
对于较大的即使 ,但它们很快就会变得极其复杂仅以模块函数的展开形式简单地写。
另请参阅
类别编号,丢番图方程——二次幂,费马的多边形数定理,高斯圆问题,Landau-Ramanujan常数,莱布尼茨系列,底漆因子,原始毕达哥拉斯三元组,毕达哥拉斯四联体,毕达哥拉斯语三倍的,Sierpinski常数,陶(Tau)功能
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平方和函数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“平方和函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SumSquaresFunction.html
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