跑步是由一个以上连续的相同结果组成的序列,也称为丛。
让是跑步的概率属于 或更多出现连续的头部在里面a的独立抛掷硬币(即。, 伯努利试验). 这相当于从包含两个可区分的东西的瓮中重复拾取对象,每次拾取后都会进行替换。让获得头部的概率是。然后有一个美丽的公式用系数表示的生成函数
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(1)
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(费勒1968年,第300页)。然后
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(2)
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下表给出了数字的三角形对于, 2, ... 和, 2, ...,(组织环境信息系统A050227号).
特殊情况给出了序列
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(3)
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哪里是一个斐波那契数类似地连续尾部将出现在掷骰子是由,其中是一个斐波那契k-步骤号.
Feller(1968年,第278-279页)证明了,
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(4)
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哪里
(组织环境信息系统A086253号)是的正根上述多项式和
(组织环境信息系统A086254号)是上述多项式的正根。运行的相应常量头部是,最小的积极的 根属于
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(10)
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和
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(11)
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这些被修改为不公平的硬币和到,最小的积极的 根属于
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(12)
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和
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(13)
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(费勒1968年,第322-325页)。
鉴于 伯努利试验有成功的可能性,预期尾数为,所以预期的尾流数量是.持续的,
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(14)
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是预期的运行次数.因此,预期最长运行时间由下式给出
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(15)
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(戈登等。1986年,先令,1990年)。鉴于0s和1s,可能的安排数量跑步次数为
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(16)
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对于一个整数,哪里是一个二项式系数(约翰逊和科茨1968年,第268页)。然后
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(17)
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现在考虑选择物体无需更换从一个集合包含一种类型的不可区分对象和另一个无法区分的物体。让表示这些对象的排列数在哪儿不 -运行发生。例如,类型为的两个对象有6个排列和两种类型其中,,,、和包含长度为2的管路,因此.一般来说-运行做发生由以下公式给出
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(18)
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哪里是一个二项式系数Bloom(1996)给出了以下重现序列,
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(19)
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哪里对于或负值和
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(20)
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只有固定数量的项的另一个循环由下式给出
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(21)
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哪里
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(22)
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(古尔登和杰克逊,1983年,布鲁姆,1996年)。
这些公式可用于计算运行一副同色卡片52张卡片。对于,2, ..., 这产生序列1247959266474051/247959264474052。。。(组织环境信息系统A086439美元和A086440型).通过乘以进行规格化给出495918532948104,495918532.948102,495891608417946,483007233529142。。。(组织环境信息系统A086438号). 结果
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(23)
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反驳了加德纳(1982)的断言,即“几乎总是会有六个或七个一团”卡“相同颜色”普通甲板卡.
Bloom(1996)给出了非连续的预期数量-运行(即,将序列拆分为相同的值并计算此类长度束的数量)按以下顺序0s和1s作为
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(24)
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哪里是坠落阶乘。对于,具有近似值正常的分布具有意思是和方差
另请参见
卡,投币,欧拉数,超几何的分发,置换,置换运行,秒-运行
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D.M.布鲁姆。“二进制序列中丛的概率(以及如何在不知道很多的情况下评估它们)。”数学。美格。 69,366-372, 1996.西弗勒。安概率论及其应用导论,第1卷,第3版。纽约:威利出版社,1968年。芬奇,S.R。“费勒抛硬币常量。“第5.11条数学常量。英国剑桥:剑桥大学出版社,第339-342页,2003M.加德纳。啊哈!明白了:困惑与快乐的悖论。纽约:W.H。弗里曼,第124页,1982戈德博尔,A.P。“关于超几何和相关分布订单的."Commun公司。统计:Th.和Meth。 19,1291-1301, 1990.戈德博尔,A.P。和Papastavridis,G.(编辑)。跑和概率模式:精选论文。纽约:Kluwer,1994年。戈登,法律。;席林,M.F。;和Waterman,M.S。“极值理论用于长距离跑步。"探针。Th.和相关字段 72, 279-287,1986古尔登,I.P。和医学博士杰克逊。组合枚举。纽约:Wiley,1983年。Johnson,N.和Kotz,S。离散分布。纽约:威利出版社,1968年。心情,A.M。“跑步分布理论。”安。数学。统计 11,367-392, 1940.菲利普·A.N。和F.S.Makri。“成功,跑步和最长跑步。"统计概率。让。 4, 211-215, 1986.先令,平方英尺。“最长距离的冲刺。”科尔。数学。J。 21,196-207, 1990.E.F.舒斯特。在跑概率与模式:论文选(编辑A.P.Godbole和S.Papstavridis)。马萨诸塞州波士顿:Kluwer,第91-1111994页。斯隆,新泽西州。答:。序列A000225号/M2655,A008466号,A050227号,A050231号,A050232号,A050233号,A086253号,A086254号,A086438号,A086439号、和A086440型在“整数序列在线百科全书”中引用的关于Wolfram | Alpha
运行
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Run.”来源数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Run.html
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