话题
搜索

逆余切

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本
ArcCot公司
ArcCotReImAbs公司
分钟 马克斯
重新
伊姆河 由webMathematica提供支持

反余切是多值函数 cot ^（-1）z（Zwillinger 1995，第465页），也表示为阿科茨（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第79页；哈里斯和斯托克1998年，第311页；杰弗里2000年，第124页）或电弧cgz（Spanier和Oldham 1987年，第333页；Gradshteyn和Ryzhik 2000年，第208页；Jeffrey2000年，第127页），这是逆函数的余切.变体阿科茨（例如，Beyer 1987，第141页；Bronshtein和Semendyayev，1997年，第70页）和Cot ^（-1）z有时用来指代显式主要的值尽管这种区别并不总是存在（例如，Zwillinger 1995，第466页）。更糟糕的是，符号阿科茨有时用于主值Arccotz公司用于多值功能（Abramowitz和Stegun，1972年，第80页）。注意，在注释中cot ^（-1）z（北美常用以及全球袖珍计算器），科茨是余切和上标-1表示逆函数,不乘法的相反。

这个本金在Wolfram语言作为ArcCot公司[z（z）].

反余切分支切割

定义反余切至少有两种可能的约定。这部作品遵循了阿布拉莫维茨和斯特根（1972年，第79页）的约定Wolfram语言，采取胶辊^（-1）x要有范围（-pi/2，pi/2]，在x=0、和分支切割放置沿线段（-i，i）这个定义可以用自然对数乘以

cot ^（-1）z=i/2[ln（（z-i）/z）-ln（（z+i）/z。
(1)

该定义也必须与Wolfram语言的定义ArcTan公司,所以ArcCot公司[z（z）]等于ArcTan公司[1/z（z）].

一个不同但常见的约定（例如，Zwillinger 1995，第466页；Bronshtein和Semendyayev，1997，第70页；Jeffrey 2000，第125页）定义了婴儿床^（-1）x作为（0，π）,从而在实线 R（右）.应特别小心检查涉及反三角函数的恒等式，因为它们的范围适用性或精确形式可能因所使用的公约而异。

这个导数属于cot ^（-1）z由提供

d/（dz）cot^（-1）z=-1/（1+z^2）
(2)

和完整的通过

intcot^（-1）zdz=zcot^（-1）z+1/2ln（1+z^2）+C。
(3)

这个麦克劳林系列的反余切x> 0个由提供

胶辊^（-1）x=pi/2-sum_（k=0）^（infty）（（-1）^kx^（2k+1））/（2k+1）
(4)
=π/2-x+1/3x^3-1/5x^5+1/7x^7-1/9x^9+。。。
（5）

（组织环境信息系统A005408号). 这个洛朗级数关于z=输入由提供

cot ^（-1）z=sum_（k=0）^（infty）（（-1）^kz^（-（2k+1）））/（2k+1）
(6)
=z（-1）-1/3z（-3）+1/5z（-5）-1/7z（-7）+1/9z（-9）+。。。
(7)

对于|z|>1个.

欧拉推导出无限的系列

cot^（-1）z=zsum_（n=1）^infty（（2n-2）！）/（2n-1）！！（z^2+1）^n）
(8)

（Wetherfield，1996年）。

反余切满足

cot^（-1）z=tan^（-1-）（1/z）
(9)

对于z=0,

cot^（-1）z=-cot^（-1-）（-z）
(10)

为所有人z（单位：C）^*,和

婴儿床^（-1）x={sec^（-1）（（sqrt（x^2+1））/x）-pi表示x<0；sec^
(11)
=｛-1/2pi tan^（-1）x对于x＜0；1/2pi tan^（-1）x对于x＞＝0
(12)
={-sin^（-1）（1/（sqrt（x^2+1）））对于x<0
（13）
={-1/2pi-cot^（-1）（1/x）对于x<0
(14)
={-csc^（-1）（sqrt（x^2+1））对于x<0
(15)
=｛cos^（-1）（x/（sqrt（x^2+1）））-pi表示x＜0；cos^（-1）（x/（sqrt（x^2+1））表示x＞0
(16)
={-1/2pi-sin^。
(17)

余切的解析和包含美丽的结果

sum_（n=1）^inftycot^（-1）n^2=cot^（-1-）（（1+t）/（1-t））=1.42474。。。，
(18)

（组织环境信息系统A091007号)，其中

t=胶辊（1/2活塞（2））
(19)

（H.S.Wilf，pers.comm.，2002年5月21日）。

一个数字

t_x=cot^（-1）x，
(20)

哪里x个是一个整数或理性的数，有时称为格雷戈里数.莱默（1938a）表明cot ^（-1）（a/b）可以表示为有限的反余切之和属于整数论据

cot^（-1）（a/b）=sum_（i=1）^k（-1）^（i-1）cot^（-1）n_i，
(21)

哪里

n _ i=| _（a _ i）/（b _ i）_ |，
(22)

具有|_x个_|这个楼层功能、和

a_（i+1）=a_in+i+b_i
(23)
b（i+1）=a i i n i b i，
（24）

具有a_0=a和b_0=b,并且复发持续到b（k+1）=0。如果逆切线总和写为

tan^（-1）n=sum_（k=1）f_ktan^（-1-）n_k+ftan^，
(25)

则方程式（◇）变为

cot^（-1）n=sum_（k=1）f_kcot ^（-1-）nk+ccot^（-1-1）1，
（26）

哪里

c=2-f-2sum_（k=1）f_k。
(27)

反余切和可用于生成像机械手一样公式.

其他反余切恒等式包括

2cot^（-1）（2x）-cot^（-1-）x=cot^（-1）（4x^3+3x）
(28)
3cot^（-1）（3x）-cot^（-1x）x=婴儿床^（-1）（（27x^4+18x^2-1）/（8x）），
(29)

以及其他许多人（Bennett 1926，Lehmer 1938b）。注意，对于等式(29)，公约的选择cot ^（-1）z非常重要，因为它适用于所有复杂情况z（z）在中[0，pi]约定，但仅在透镜-成形的以原点为中心的区域[-pi/2，pi/2]惯例。

另请参见

余切,反余割,反余弦,反向割线,反正弦,反向切线,反三角功能,Lehmer余切展开,马钦公式,机器般的公式,切线

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCot/

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

参考文献

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《反循环函数》第4.4节手册《数学函数与公式、图表和数学表》，第9版。纽约：多佛，第79-83页，1972年。A.A.贝内特。“四项丢番图反正切关系。”安。数学。 27, 21-24,1926Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第142-143页，1987I.N.Bronshtein。和塞门德亚耶夫，K.A。手册数学，第三版。纽约：Springer-Verlag，第70页，1997年。卡斯特拉诺斯，D.“无处不在的圆周率。第一部分。”数学。美格。 61，67-981988a。卡斯特拉诺斯，D.“无处不在的Pi.第二部分。”数学。美格。 61, 148-163,1988年b。J.W.哈里斯。和H·斯托克。手册数学和计算科学。纽约：施普林格出版社，第311页，1998反三角函数和双曲函数§2.7英寸手册数学公式和积分，第2版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第124-128页，2000年。莱默，D.H。“余切类比续分数。”杜克大学数学。J。 4第323-340页，1938a页。莱默，D.H.博士。“关于的反正切关系圆周率”阿默尔。数学。每月 45第657-664页，1938b页。斯隆，新泽西州。答：。序列A005408号/M2400型和A091007号在线百科全书整数序列的。”Spanier，J.和Oldham，K.B。“反向三角函数。“Ch.35英寸安函数图谱。华盛顿特区：《半球》，第331-3411987页。威瑟菲尔德，M.“托德过程对马钦公式的改进。”数学。加兹。 80,333-344, 1996.Zwillinger，D.（编辑）。“反循环函数。”§6.3英寸CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第465-467页，1995

参考Wolfram | Alpha

反余切

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“反余切。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html网址

主题分类