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如果f（z）是分析的在同心圆之间和上的整个环形区域K_1公司和K_2公司居中于z=a和半径第1段和r2<r1则存在唯一的级数展开在积极和消极权力方面（z-a）,

f（z）=sum_（k=0）^inftya_k（z-a）^k+sum_，
（1）

哪里

（_k）=1/（2pii）¼_（K_1）（f（zeta）dzeta）/（（zeta-a）^（K+1））
（2）
b_k（英国）=1/（2pii）¼_（K_2）（zeta-a）^（K-1）f（zeta）dzeta
(3)

（Korn和Korn，1968年，第197-198页）。

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假设有两个圆形轮廓C_2和C_1，半径为C_1大于C_2.让z0（零）位于…的中心C_1和C_2、和z（z）介于C_1和C_2。现在创建切割线抄送（_C）之间C_1和C_2，并围绕路径进行集成C=C_1+C_C-C_2-C_C，所以正负贡献属于抄送（_C）如上图所示，相互抵消。来自柯西积分公式,

f（z）=1/（2pii）int_C（f（z^'））/（z^'-z）dz^'
(4)
=1/（2pii）int_（C_1）（f（z^'））/（z^'-z）dz^'+1/
(5)
=1/（2pii）int_（C_1）（f（z^'））/（z^'-z）dz^'-1/。
(6)

现在由于来自切割线在相反方向上的贡献被抵消，

f（z）=1/（2pii）int_（C_1）（f（z^'））/（（z^'-z_0）-（zz_0
(7)
=1/（2pii）整数_（C_1）（f（z^'））/（（z^'-z_0）（1-（zz_0
(8)
=1/（2pii）整数_（C_1）（f（z^'））/（（z^'-z_0）（1-（zz_0”）/（z^'-z_0））dz^'+1/。
(9)

对于第一个积分，|z^'-z_0|>|zz_0|.对于第二个，|z^'-z_0|<|zz_0|.现在使用泰勒级数（有效期：|t |<1)

1/（1-t）=总和_（n=0）^inftyt^n
(10)

以获得

f（z）=1/（2pii）[整数_（C_1）（f（z^'））/（z^'-z_0）总和_（n=0）^（infty）（（zz_0
(11)
=1/（2pii）总和_（n=0）^（infty）（zz_0）^nint_（C_1）（f（z^'）
(12)
=1/（2pii）总和_（n=0）^（infty）（zz_0）^nint_（C_1）（f（z^'），
(13)

其中第二项已重新定义。再次诱导，

f（z）=1/（2pii）sum_（n=0）^infty（z-z_0）^nint_（C_1）（f（z^'））/（（z^'-z_0）^（n+1））dz^'+1/（2pii）总和_（n=-infty）^（-1）（zz_0）^nint_（C_2）（f（z^'））/（z^'-z_0（n+1））dz^'。
(14)

因为被积函数，包括函数f（z），在环形区域内是解析的，定义为C_1和C_2，积分与积分路径无关在该地区。如果我们替换集成路径C_1和C_2由一个圆圈C类半径的第页具有r1<=r<=r2，然后

f（z）=1/（2pii）总和_（n=0）^（infty）（zz_0）^nint_C（f（z^'））/（（z^'-z_0
(15)
=1/（2pii）总和_（n=-infty）^（infty）（zz_0）^nint_C（f（z^'））/（z^'-z_0（n+1））dz^'
(16)
=sum_（n=-infty）^（infty）a_n（zz_0）^n。
(17)

通常，集成的路径可以是任何路径伽马射线位于环形区域并围绕z0（零）在正（逆时针）方向上一次。

这个复合残留物 a_n（名词）因此定义为

a_n=1/（2pii）int_gamma（f（z^'））/（（z^'-z0）^（n+1））dz^'。
(18)

注意，环形区域本身可以通过增加第1段和减少第2段直到的奇点f（z）就在外面C_1或者就在里面C_2已到达。如果f（z）内部没有奇点C_2，然后所有b_k（英国）中的术语(◇) 等于零和Laurent级数(◇) 减少到泰勒级数带系数（_k）.

另请参见

复杂残留物,麦克劳林系列,主体部分,泰勒系列

本条目的部分内容由大卫古德曼森

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工具书类

Arfken，G.“洛朗扩张”§6.5英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第376-384页，1985Korn，G.A。和Korn，T.M。数学科学家和工程师手册。纽约：McGraw-Hill，第198页，1968Knopp，K.《洛朗扩张》第10章理论功能第一部分和第二部分，两卷合订为一，第一部分。纽约：多佛，第117-1221996页。S.G.将军。“劳伦特系列。”§4.2.1英寸手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第43页，1999年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H.“解析函数的导数”，Taylor和Laurent系列。“§4.3方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第374-398页，1953

参考Wolfram | Alpha

Laurent系列

引用如下：

大卫·古德曼森和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《洛朗系列》数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LaurentSeries.html

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