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类机器公式

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类机器公式的形式如下

mcot^（-1）u+ncoct^（-1-）v=1/4kpi，
(1)

哪里u个,v（v）,和k是正整数和米和n个是非负的 整数.一些这样的公式可以通过转换逆切线分解，其中抄送=0托德（1949）的表中反向余切然而，这只给出了类Machin公式，其中最小的术语是+/-1个.

广义类机器公式，其中余切的参数是有理数，包括欧拉公式

1/4π=5 tan（-1）（1/7）+2 tan（-1）（3/（79））
(2)

（Lehmer 1938，Wetherfield 1996），平方根这样的作为

1/2pi=2tan^（-1）（1/（sqrt（2）））+tan^，
(3)

甚至混合二次曲面（莱默1938）也被考虑。

这个等式给出了一个简单的单项类Machin公式

1/4π=cot ^（-1）1。
(4)

两项类机器公式可以通过书写推导出来

cot^（-1）z=1/（2i）ln（（z+i）/（z-i））
(5)

并寻找（_k）和单位（_k）这样的话

sum_（k=1）^2a_kcot^（-1）u_k=1/4pi，
(6)

所以

产品_（k=1）^2（（u_k+i）/（u_k-i））^（a_k）=e^（2pii/4）=i。
(7)

存在类似机器的公式若（iff）(7)在中有解决方案整数。这相当于发现正整数值u个,v（v）、和k和整数值米和n个这样的话

mcot^（-1）u+tan^（-1-）v=1/4kpi，
(8)

发生了什么若（iff）

（1-i）^k（u+i）^m（v+i）
(9)

是真实的（博文和博文1987年，第345页）。另一个等价的公式是找到其中一个的所有整数解

1+x^2=2年^n
(10)
1+x^2=年^n
(11)

对于n=3,5, ....

这样的两届任期只有四届公式,

1/4磅/平方英寸=4棕褐色（-1）（1/5）-棕褐色（-1）（1/（239））
(12)
1/4π=tan^（-1）（1/2）+tan^（-1）（1/3）
(13)
1/4π=2tan^（-1）（1/2）-tan^（-1）（1/7）
(14)
1/4π=2tan（-1）（1/3）+tan（-1/1）（1/7），
（15）

称为马钦公式（Borwein和Bailey，2003年，第105页），欧拉机器式公式（Borwein和Bailey，2003年，第105页），赫尔曼氏公式、和赫顿公式。以下是来自身份

（（5+i）/（5-i））^4（（239+i）或（239-i））^（-1）=我
（16）
（（2+i）/（2-i））（（3+i）/=我
(17)
（（2+i）/（2-i））^2（（7+i）=我
(18)
（（3+i）/（3-i））^2（（7+i）/=i、。
（19）

三项类机器公式包括高斯的类机器公式

1/4pi=12吨^（-1）18+8吨^，
(20)

斯特拉斯尼茨基公式

1/4pi=cot^（-1）2+cot^（-1）5+cot ^（-1-）8，
(21)

Dase（Borwein和Bailey，2003年，第106页）使用了它，以及以下内容：

1/4π=6cot^（-1）8+2cot（-1）57+cot（-1-）239
(22)
1/4π=4支^（-1）5支^
(23)
1/4π=8cot^（-1）10-cot（-1）239-4cot（-1-）515
(24)
1/4π=5cot^（-1）7+4cot（-1）53+2cot（-1）4443
(25)
1/4π=3科特^（-1）4+科特^（-1）20+科特（-1）1985
（26）

第一个是由于圣·勒默，第二个是由于卢瑟福，最后一个出现在博尔文和贝利（2003年，第107页）。然而，还有许多其他这样的公式，其中共有105个是由魏斯坦列出的。

Weistein列出了总共90个五项类Machin公式，包括Borwein和Bailey给出的两个公式（2003年，第62和111页）

1/4π=12吨^（-1）49+32吨^
(27)
1/4磅/平方英寸=44吨^（-1）57+7吨^，
(28)

第一个是1982年高中老师K.Takano发现的，第二个是1896年Störmer知道的。

使用三角恒等式，例如

cot ^（-1）x=2cot（-1）（2x）-cot ^（-1-）（4x^3+3x），
（29）

有可能生成无限序列的类Machin公式。因此，系统搜索通常集中在具有特别“好”属性（例如“效率”）的公式上。

广义类Machin公式的效率（可能有有理、二次曲面或其他反余切自变量）是计算所需的时间圆周率使用幂级数对于反余切由提供

pi=a_1cot^（-1）b_1+a_2cot^（-1）b2+。。。，
(30)

可以用莱默的“测量”公式粗略地描述

e=总和1/（log_（10）b_i）
(31)

（莱默1938）。达到给定精度所需的术语数量大致与e（电子）,这么低e（电子）-值对应更好的总和。目前已知的最佳效率为1.51244通过6学期系列课程实现

1/4 pi=183吨^（-1）239+32吨^+12吨^（-1）110443-12吨^
(32)

由C.-L.Hwang（1997）发现。Hwang（1997）也发现了显著的身份

1/4π=Pcot^（-1）2-Mcot^，
(33)

哪里K（K）,L（左）,M（M）,N个,和P（P）是正整数、和

1/4pi=（N+2）cot^（-1）2-Ncot^（-1）3-（N+1）cot ^（-1-）N。
(34)

下表给出了数字N（N）个类机器公式n个Weisstein编纂的术语。除了以前已知身份（包括在内），纳入标准如下：

1.第一任期<8数字：度量<1.8.

2.第一项=8位：测量<1.9.

3.第一项=9位数：测量<2.0.

4.第一项=10位：测量<2.0.

n个N（N）个矿
110
241.85113
三1061.78661
4391.58604
5901.63485
61201.51244
71131.54408
8181.65089
941.72801
10781.63086
11341.6305
121881.67458
13371.71934
1451.75161
15241.77957
16511.81522
1751.90938
185701.87698
1911.94899
20111.95716
2111.98938
总计15001.51244

另请参见

欧拉类机器公式,高斯类机器公式,格雷戈里编号,赫尔曼公式,赫顿的公式,反余切,Machin的公式,圆周率,Størmer公司编号,斯特拉斯尼茨基公式

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引用关于Wolfram | Alpha

类机器公式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“类机器公式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Machin-LikeFormulas.html

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