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反三角函数


反三角函数是逆函数三角函数,书面的cos^(-1)z,cot ^(-1)z,csc ^(-1)z,秒^(-1)z,正弦^(-1)z,tan ^(-1)z.

有时会使用替代符号,如下表所示。

f(z)交替符号
cos^(-1)z阿科萨斯(Spanier和Oldham 1987年,第333页;Gradshteyn和Ryzhik 2000,第207页)
cot ^(-1)z阿科茨(Spanier和Oldham 1987年,第333页),电弧cgz(Spanier和Oldham 1987年,第333页;Gradshteyn和Ryzhik 2000,第208页;杰弗里2000年,第127页)
csc ^(-1)zarccscz公司(Spanier和Oldham 1987年,第333页),arccosecz公司(Spanier和Oldham 1987年,第333页;Gradshteyn和Ryzhik 2000,第207页)
秒^(-1)z阿塞克斯(Spanier和Oldham 1987年,第333页;Gradshteyn和Ryzhik 2000年,第209页)
罪^(-1)z电弧正弦(Spanier和Oldham 1987年,第333页;Gradshteyn和Ryzhik 2000,第207页)
tan ^(-1)z阿卡坦兹(Spanier和Oldham 1987年,第333页),阿尔卡特兹(Spanier和Oldham 1987年,第333页;Gradshteyn和Ryzhik 2000,第208页;杰弗里2000年,第127页)

反三角函数为多值的。例如,有多个值w个这样的话z=正弦,所以正弦^(-1)z不是唯一定义的,除非主要的价值定义。这样的主要价值观有时用大写字母表示,例如反正弦 正弦^(-1)z可以用不同的方式表示正弦^(-1)z阿尔辛兹(拜尔1987年,第141页)。另一方面,符号正弦^(-1)z(等)也常用于表示主值或任何其正弦为z(Zwillinger 1995,第466页)。更糟糕的是,校长值和多值符号有时会颠倒,例如电弧正弦表示本金阿尔辛兹表示多值函数(Spanier和Oldham1987年,第333页)。

由于反三角函数是多值的,他们需要分支切割在中复杂的飞机。可以使用不同的分支切割约定,但在此遵循沃尔夫拉姆语言,总结如下。

逆三角函数

对于范围这些函数的实参。遵循沃尔夫拉姆语言,本文中定义的反三角函数如下范围对于实线 R(右),如上图所示。

逆前恒等式为

tan ^(-1)(成本)=1/2pi-x forx in[0,pi]
(1)
sin^(-1)(cosx)=1/2pi-x forx in[0,pi]
(2)
秒^(-1)(cscx)=1/2pi-x forx英寸[0,1/2pi]。
(3)

正向标识为

cos(sin^(-1)x)=平方(1-x^2)
(4)
cos(tan^(-1)x)=1/(平方(1+x^2))
(5)
sin(cos^(-1)x)=平方(1-x^2)
(6)
sin(tan ^(-1)x)=x/(平方(1+x^2))
(7)
tan(cos^(-1)x)=(平方(1-x^2))/x
(8)
tan(sin^(-1)x)=x/(平方(1-x^2))。
(9)

逆和恒等式包括

sin^(-1)x+cos^(-1-)x=1/2π
(10)
棕褐色^(-1)x+胶辊^(-1-)x=1/2π
(11)
秒^(-1)x+csc^(-1-)x=1/2π,
(12)

其中方程式(11)仅对有效x> =0.

复逆恒等式自然对数包括

罪^(-1)z=-iln(iz+sqrt(1-z^2))
(13)
cos^(-1)z=1/2pi+iln(iz+sqrt(1-z^2))
(14)
tan ^(-1)z=1/2i[ln(1-iz)-ln(1+iz)]。
(15)

另请参见

反余割,反余弦,反余切,反向功能,反双曲函数,反正割,反向正弦,反向切线,三角函数功能

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。《反循环函数》第4.4节手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第79-83页,1972年。阿波斯托·T·M·。“反转三角函数。“§6.21英寸微积分,第二版,第1卷:一元微积分,线性代数导论。马萨诸塞州沃尔瑟姆:布莱斯德尔,第253-256页,1967年。Beyer,W.H。(编辑)。CRC公司《标准数学表格》,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,1987年。哈里斯,J·W·。和Stocker,H.“反三角函数”手册数学和计算科学。纽约:Springer-Verlag,第306-318页,1998反三角函数和双曲函数§2.7英寸手册数学公式和积分,第2版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第124-128页,2000年。Spanier,J.和Oldham,K.B。“反向三角函数。“Ch.35英寸功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第331-3411987页。特洛特,M.《反三角函数和双曲函数》§2.2.5这个编程数学指南。纽约:Springer-Verlag,第180-191页,2004http://www.mathematicaguidebooks.org/.兹威林格,D.(编辑)。CRC公司标准数学表格和公式。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,1995年。

引用的关于Wolfram | Alpha

反三角函数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“反三角函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Inverse三角函数.html

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