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Erf公司

erf（z）是“错误函数”在集成正态分布（它是高斯函数).它是一个整个函数由定义

erf（z）=2/（sqrt（pi））int_0^ze^（-t^2）dt。
(1)

请注意，一些作者（例如，Whittaker和Watson 1990，p.341）定义了erf（z）没有主导因素2/sqrt（pi）.

Erf在Wolfram语言作为Erf公司[z（z）].双参数形式给出erf（z1）-erf（z0）也实现为Erf公司[z0（零）,z1（零）].

Erf满足身份

erf（z）=1-erfc（z）
(2)
=（2z）/（sqrt（pi））_1F_1（1/2；3/2；-z^2）
（3）
=（2ze^（-z^2））/（sqrt（pi））_1F_1（1；3/2；z^2，
(4)

哪里erfc（z）是电流变液控制,互补误差函数，以及_1F_1（a；b；z）是一个汇合的第一类超几何函数.对于z> 0个,

erf（z）=pi^（-1/2）γ（1/2，z^2），
（5）

哪里γ（a，x）是不完整的伽马函数.

Erf也可以定义为麦克劳林系列

erf（z）=2/（平方（π））和_（n=0）^（infty）（（-1）^nz^（2n+1））/（n！（2n+1））
（6）
=2/（平方英尺（π））（z-1/3z^3+1/（10）z^5-1/（42）z^7+1/（216）z^9+…）
（7）

（组织环境信息系统A007680号). 同样，

erf^2（z）=4/pi（z^2-2/3z^4+（14）/（45）z^6-4/（35）z^8+（166）/（4725）z^（10）+…）
(8)

（组织环境信息系统A103979号和A103980号).

对于x<<1,erf（x）可以根据

erf（x）=1/（sqrt（pi））e^（-x^2）sum_（n=0）^（infty）（（2x）^
(9)
=2/（平方（pi））e^（-x^2）[x+（2x^3）/（1.3）+（4x^5）/（1.3.5）+…]
(10)

（组织环境信息系统A000079和A001147号;Acton 1990）。

对于x> >1,

erf（x）=2/（平方（pi））（int_0^inftye^（-t^2）dt-int_x^inftyer^（.t^2））
(11)
=1-2/（平方（pi））int_x^inftye^（-t^2）dt。
（12）

使用按部件集成给予

int_x^inftye^（-t^2）dt=-1/2int_x^infty1/td（e^（-t^2））
(13)
=-1/2[（e^（-t^2））/t]_x^infty-1/2int_x^ infty
(14)
=（e^（-x^2））/（2x）+1/4int_x^输入1/（t^3）d
(15)
=（e^（-x^2））/（2x）-。。。，
(16)

所以

erf（x）=1-（e^（-x^2））/（sqrt（pi）x）（1-1/（2x^2
（17）

并继续该过程渐近的系列

erf（x）∼1-（e^（-x^2））/（sqrt（pi））总和_（n=0）^（infty）（（-1）^n（2n-1）！）/（2^n）x（-（2n+1））
(18)
∼1-（e^（-x^2））/（sqrt（pi））（x^（-1）-1/2x^
(19)
+（105）/（16）x ^（-9）+…）
(20)

（组织环境信息系统A001147号和A000079).

Erf具有值

erf（0）=0
(21)
erf（输入）=1
(22)

它是一个奇数函数

erf（-z）=-ef（z），
(23)

并满足

erf（z）+erfc（z）=1。
(24)

Erf可以用第一类合流超几何函数 M（M）作为

erf（z）=（2z）/（sqrt（pi））M（1/2,3/2，-z^2）
(25)
=（2z）/（sqrt（pi））e^（-z^2）M（1,3/2，z^ 2）。
(26)

它导数是

（d^n）/（dz^n）erf（z）=（-1）^（n-1）2/（sqrt（pi））H_（n-1）（z）e^（-z^2），
(27)

哪里H_n（H_n）是一个埃尔米特多项式的.第一个导数是

d/（dz）erf（z）=2/（sqrt（pi））e^（-z^2），
(28)

积分是

干扰（z）dz=zerf（z）+（e^（-z^2））/（sqrt（pi））。
(29)
ErfReImAbs公司
分钟 马克斯
重新
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如上图所示，Erf也可以扩展到复杂平面。

涉及erf的简单积分沃尔夫拉姆语言cannot do由给定

int_0^pe^（-x^2）erf（p-x）dx=1/2sqrt（pi）[erf（1/2sq（2）p）]^2
(30)

（M.R.D’Orsogna，公共事务部，2004年5月9日）。更复杂的积分包括

int_0^infty（e^（-（p+x）y））/（pi（p+x））sin（asqrt（x））dx=-sinh（asqrt（p））+（e^（asqrt（p）））/2erf（a/（2sqrt（y））-sqrt（py））+int_0^infty（sqrt（x）e^（-（p+x）y））/（pi（p+x））cos（asqrt（x））dx=（e^[-[py+a^2/（4y）]））/qrt（y））+sqrt（py）]
（31）

（M.R.D’Orsogna，公共事务部，2005年12月15日）。

Erf有连续分数

整数0^xe^（-t^2）dt=1/2平方（pi）erf（x）
(32)
=1/2平方（π）-（1/2平方（-x2））/（x+1/（2x+2/（x+3/（2x+4/（x+…））））
(33)

（Wall 1948，第357页），拉普拉斯于1805年首次提出，勒让德于1826年首次提出（奥尔兹1963，第139页），雅各比证明，拉马努扬再次发现（沃森1928；哈代1999，第8-9页）。

涉及的定积分erf（x）包括涉及的定积分erf（x）包括

int_0^inftye^（-px^2）erf（ax）erf（bx）dx=1/（平方（pip））tan^（-1）（（ab）/（平方（p（a^2+b^2+p）））
(34)
int_0^inftyxe^（-px^2）erf（ax）erf=1/（pip）[a/（sqrt（a^2+p））tan^（-1）（（bc）/（sqert（（a^2+b^2+c^2+p）（a^2+p））））]（b/（squart（b^2+p ^2+c ^2+p）（c ^2+p））]
(35)
int_0^inftye^（-x）erf（sqrt（x））dx=1/2平方英尺（2）
(36)
int_0^inftye^（-x）erf^2（sqrt（x））dx=（2平方（2）cot ^（-1）（2平方））/pi
(37)
int_0^inftye^（-x）erf^3（sqrt（x））dx=（3sqrt（2）cot^（-1）（2sqrt（2）））/pi。
(38)

其中前两个出现在普鲁德尼科夫等。（1990年，第123页，等式2.8.19.8和2.8.19.11）R[p]>0,|arg（a）|，|argb|，|argc|<pi/4.

A类复杂的概括erf（x）定义为

w（z）=e^（-z^2）erfc（-iz）
(39)
=e^（-z^2）（1+（2i）/（sqrt（pi））int_0^ze^（t^2）dt）。
(40)

积分表示仅在上半平面有效I[z]>0由提供

w（z）=i/pinit_（-infty）^infty（e^（-t^2））/（z-t）dt
(41)
=（2iz）/pinint_0^infty（e^（-t^2））/（z^2-t^2）dt。
(42)

另请参见

道森积分,Erfc公司,误差函数,菲涅耳积分,高斯函数,高斯完整的,逆Erf,正常分配函数,Owen T函数,概率积分 在数学世界课堂上探索这个主题

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Erf/,http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Erf2/

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参考Wolfram | Alpha

Erf公司

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“错误”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Erf.html

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