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道森积分


道森综合

道森积分(Abramowitz和Stegun 1972,第295和319页),有时也称为道森函数,是整个函数完整的

F(x)=e^(-x^2)整数0^xe^(y^2)dy
(1)
=1/2sqrt(pi)e^(-x^2)erfi(x),
(2)

哪里erfi(x)电子荧光显微镜,在计算Voigt线型时出现(Harris 1948,Hummer 1963,Sajo 1993,Lether 1997),热传导和某些特殊真空管中的电振荡理论(McCabe 1974)。通常表示为F(x)(McCabe 1974;Coleman 1987;Milone and Milone 1988;Sajo 1993;Lether 1997;出版社等。2007年,第302页),尽管Spanier和Oldham(1987)将其表示为道夫(x).

道森积分在沃尔夫拉姆语言作为道森F[z(z)].

它是一个奇函数,所以

 F(-x)=-F(x)。
(3)

导数

 d/(dx)F(x)=1-2xF(x)
(4)

及其不定积分

 积分F(x)dx=1/2x^2_2F_2(1,1;3/2,2;-x^2),
(5)

哪里_2F_2(a,b;c,d;z)是一个广义超几何功能.

它是微分方程的特殊解

 F^'(z)+2zF(z)=1
(6)

(McCabe 1974)。

麦克劳林系列由提供

F(x)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n2^n)/((2n+1)!)x^(2n+1)
(7)
=x-2/3x^3+4/(15)x^5-8/(105)x^7+。。。
(8)

(组织环境信息系统122203英镑A001147号).如果有渐近级数

 F(x)~1/(2x)+1/(4x^3)+。。。。
(9)

它也出现在半积分属于e ^(-x)通过

 D^(-1/2)e^(-x)=2/(平方(pi))F(平方(x))
(10)

(Spanier和Oldham 1987年,第406页)。

它由总和给出

F(x)=1/2xsqrt(pi)sum_(k=0)^(infty)((-1)^kx^(2k))/(伽马(k+3/2))
(11)
=xsum_(k=0)^(infty)((-1)^kx^(2k))/((3/2)_k)
(12)

(Spanier和Oldham,1987年,第407页),其中伽马(z)伽马函数(z) k(_k)是一个Pochhammer符号.

道森积分有连分式

F(z)=1/(1+)(2z^2)/(3-)(4z^2。。。
(13)
=z/(1+2z^2-)(4z^2-。。。
(14)

(McCabe 1974)。

DawsonPlusReIm公司道森Plus轮廓

上面的图显示了F(z)在中复平面.

F类最大值为F^'(x)=0,或

 1-sqrt(pi)e^(-x^2)xerfi(x)=0,
(15)

 F(0.9241388730)=0.5410442246
(16)

(组织环境信息系统A133841号A133842号),和处的屈折变化F^(“”)(x)=0,

 -2x+sqrt(pi)e^(-x^2)(2x^2-1)erfi(x)=0,
(17)

 F(1.5019752683)=0.4276866160
(18)

(组织环境信息系统A133843号).

该函数有时被推广为

 D_+/-(x)=e^(∓x^2)整数_0^xe^(+/-y^2)dy,
(19)

给予

D_+(x)=1/2平方(pi)e^(-x^2)erfi(x)
(20)
D_-(x)=1/2平方(pi)e^(x^2)erf(x),
(21)

哪里erf(z)电流变液功能和erfi(z)是虚误差函数电子荧光显微镜.

道森减雷姆道森减法曲线

上面的图显示了D_-(z)在中复平面.


另请参见

误差函数,高斯功能

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。带公式、图形和数学表的数学函数手册,第9版。纽约:多佛,第295和3191972页。科迪·W·J。;波西奥雷克,英国航空公司。;和撒切尔,H.C。“道森的切比雪夫近似完整的。"数学。计算。 24, 171-178, 1970.科尔曼,J.P.公司。“Lanczos的复多项式逼近陶-方法:道森积分。"J.计算。申请。数学。 20,137-151, 1987.Dawson,F.“关于int_0^he^(x^2)dx."伦敦数学。Soc.程序。 29,519-522, 1898.迪杰克斯特拉,D.A。“A继续分数扩展道森积分的推广。"数学。公司。 31, 503-510,1977法迪耶娃,V.N。和Terent'ev,N.M。数值表函数的w(z)=e^(-z^2)(1+2i/sqrtpiint_0^ze^(t^2)dt)用于复杂参数。纽约:佩加蒙出版社,1961年。D.哈里斯。三、 “多普勒效应和阻尼引起的在线吸收系数。”天体物理学。J。 108, 1120-115, 1948.悍马,D.G。“非相干散射I.多普勒展宽的重分布函数。"每月不是。罗伊。阿童木。Soc公司。 125, 21-37, 1963.悍马,D.G。“道森函数在一系列切比雪夫多项式中的展开。”数学。计算。 18, 317-319, 1964.莱瑟,F.G。“基本道森积分的近似。"J.数量。光谱学。辐射。换乘 4,343-345, 1991.莱瑟,F.G。“约束Near-Minimax有理数道森积分的近似。"申请。数学。计算。 88,267-274, 1997.Lohmander,B.和Rittsten,S.“函数表y=e^(-x^2)int_0^xe^(t^2)dt."昆尔。Fysiogr。萨尔斯克。i隆德·福尔。 28, 45-52, 1958.卢克,Y.L.公司。这个特殊函数及其近似,第2卷。纽约:学术出版社,1969年。J.H.McCabe。“A继续分数扩展道森积分的截断误差估计。"数学。计算。 28,811-816, 1974.Milone,洛杉矶。和Milone,A.A。E.公司。“评估道森函数。"天体物理学。空间科学。 147, 189-191, 1988.莫希尔,S.L.公司。数学函数的方法和程序。英国奇切斯特:埃利斯·霍伍德,1989年。出版社,W.H。;弗兰纳里,B.P。;图科尔斯基,S.A.公司。;和韦特林。“道森积分”§6.10在里面数字的食谱:科学计算的艺术,第三版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第302-304页,2007年。罗瑟,J.B。“理论和应用int_0^ze^(-x^2)dxint_0^ze^(-p^2y^2)天."纽约布鲁克林:Mapleton House,1948年。G.B.Rybicki。“道森的积分与抽样定理。"物理学中的计算机 , 85-87,1989Sajo,E.“关于道森积分的递归性质”《物理学杂志》。A类 26, 2977-2987, 1993.新泽西州斯隆。A。序列A001147号/M3002,A122803号,A133841号,A133842号,A133843号在线百科全书整数序列的。"Spanier,J.和Oldham,K.B。“道森的完整的。“Ch.42英寸功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第405-410页,1987年。

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道森积分

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“道森积分。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DawsonsIntegral.html

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