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决定因素

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行列式是数学对象，在分析和求解线性方程组。如所示克莱默法则，非齐次线性系统方程有唯一的解若（iff）行列式系统的矩阵是非零（即矩阵非奇异）。例如，消除x个,年、和z（z）根据方程式

a1x+a2y+a3z=0
(1)
b1x+b2y+b3z=0
(2)
c1x+c2y+c3z=0
(3)

给出了表达式

a_1b_ 2c_3c_，
(4)

这就是这个方程组的行列式。确定了决定因素只为平方矩阵.

如果a的行列式矩阵为0，则矩阵据说是单数的，如果行列式为1，矩阵称为单模的.

a的行列式矩阵 A类,

|a_1 a_2。。。a_n；b_1 b_2。。。b_n；||…|；z_1 z_2。。。z（n）|
(5)

通常表示测定（A）,|A类|，或在组件符号中为总和（+/-a_1b_2c_3…）,D（a_1b_2c_3…），或|a_1b_2c_3|（缪尔1960年，第17页）。注意，符号测定（A）指示时可能更方便行列式的绝对值，即。，|测定（A）|而不是||A类||。行列式在沃尔夫拉姆语言作为Det公司[米].

A类2×2行列式定义为

det[a b；c d]=a b；c d |=ad-bc。
(6)

A类k×k行列式可以通过未成年人“以获得

|a（11）a（12）a（13）。。。a_（1k）；a（21）a（22）a（23）。。。a_（2k）；|||…|；（k1）（k2）（k3）。。。a_（kk）|=a_（11）|a_（22）a_（23）。。。a_（2k）；||…|；a_（k2）a_（k3）。。。a _（kk）|-a_（12）|a_（21）a_（23）。。。a_（2k）；||…|；a（k1）a（k3）。。。a_（kk）|++/-a_（1k）|a_（21）a_（22）。。。a_（2（k-1））；||…|；a（k1）a（k2）。。。a（k（k-1））|。
(7)

A的一般行列式矩阵 A类具有值

|A|=总和_（i=1）^ka_（ij）C_（ii），
(8)

没有隐含的总和j个以及在哪里C_（ij）（也表示a ^（ij）)是辅因子属于a_（ij）由定义

C_（ij）=（-1）^（i+j）M_（ij.）。
（9）

和M_（ij）是少数的属于矩阵 A类通过消除行而形成我和列j个从A类此过程称为行列式未成年人扩张（或“未成年人拉普拉斯扩张”，有时进一步缩短为“拉普拉斯展开”）。

行列式也可以通过写下所有排列属于{1，…，n}，将每个排列作为字母的下标一,b条,…，并用符号求和ε_p=（-1）^（i（p）），其中i（p）是的数字置换反转在排列中第页（缪尔1960年，第16页），以及ε_（n_1n_2…）是置换符号。例如，使用n=3，排列及其包含的反转数是123（0）、132（1）、213（1），231（2）、312（2）和321（3），所以行列式由给定

|a1 a2 a3；b1 b2 b3；c1 c2 c3 |=a1b2c3-a1b3c2-a2b1c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1。
(10)

如果一是一个常量，并且A类一个n×n 平方矩阵，然后

|aA|=a^n|a|。
(11)

给定一个n×n行列式，加法逆是

|-A|=（-1）^n|A|。
(12)

决定因素还包括分配的，所以

|AB|=|A||B|。
(13)

这意味着矩阵逆如下所示：

|I|=|AA^（-1）|=|A||A^（-1-）|=1，
(14)

哪里我是单位矩阵，所以

|A|=1/（|A^（-1）|）。
(15)

决定因素包括多线性的在行和列中，自从

|a1 a2 a3；a4a5a6；a_7 a_8 a_9 |=| a_1 0 0；a_4a_5a_6；a_7a_8a_9|+|0a_20；a4a5a6；a_7a_8a_9|+|0 0a_3；a4a5a6；a_7 a_8 a_9|
(16)

和

|a1 a2 a3；a4a5a6；a7 a8 a9 |=a1 a2 a3；0 a_5 a_6；0a_8a_9|+|0a_2 a_3；a4a5a6；0a_8a_9|+|0a_2 a_3；0 a_5 a_6；a_7 a_8 a_9|中。
(17)

行列式相似变换矩阵的行列式矩阵

|BAB^（-1）|=|B||A||B^（-1）|
(18)
=|B||A|1/（|B|）
(19)
=|答|。
(20)

相似变换的行列式减去单位的倍数矩阵由给定

|B^（-1）AB-lambdaI|=|B（-1）AB-B（-1）λIB|
(21)
=|B^（-1）（A-lambdaI）B|
(22)
=|B^（-1）||A-lambdaI||B|
（23）
=|A-lambdaI|。
(24)

a的行列式转置等于行列式原件的矩阵,

|A|=|A^（T）|，
(25)

和a的行列式复共轭是等于复共轭行列式的

|A^_|=|A|^_。
(26)

让ε是一个小数字。然后

|I+ε|=1+εtr（A）+O（ε^2），
(27)

哪里Tr（A）是矩阵跟踪属于A类.对于三角形矩阵

|a_（11）a_（21）。。。a_（k1）；0 a_（22）。。。a_（k2）；||…|；0 0 ... a（kk）|=产品（n=1）^ka（nn）。
(28)

行列式的重要性质包括以下内容，其中包括基本行和列操作.

1.切换两行或两列会更改符号。

2.标量可以从行和列中分解出来。

3.行和列的倍数可以相加而不改变行列式的值。

4.行与常量的标量乘法c（c）将行列式乘以c（c）.

5.行列式中一行或一列为零的行列式的值为0。

任何两行或两列相等的行列式的值都为0。

属性1可以通过归纳法建立。对于2×2 矩阵，行列式是

|a_1b_1；a2 b2|=a1b2-b1a2
(29)
=-（b_1a_2-a_1b_2）
（30）
=-|b1 a_1；b2 a2|
(31)

对于3×3 矩阵，行列式为

|a_1b_1c_1；a2b2c2；a3b3c3|=a1|b2c2；b3c3|-b1|a2c2；a3c3+c1a2b2；a_3b_3|=-（a_1|c_2b_2；c_3b_3|+b_1|a_2c_2；a_3c_3|-c_1|a_2 b2；a_3b_3|）=-|a_1c_1b_1；a2c2b2；a_3 c_3 b_3|=-（-a_1|b2c2；b_3c3|+b_1|a_2c2；a_3c3+c1|b2a_2；b_3a_3|）=-|b_1a_1c1；b2a2c2；b3 a3 c3 |=-（a_1|c2b2；c3b_3|-b1|c2a_2；c3a_3|+c1|b2a_2；b3a_3|）=-|c1b_1a_1；c_2 b_2 a_2；c3b3a3|。
(32)

属性2也如此。对于2×2和3×3矩阵，

|ka_1b1；碳酸钾b2|=k（a1b2）-k（b1a2）
(33)
=k|a_1b_1；a2 b2|
（34）

和

|ka1b1c1；碳酸钾b2c2；碳酸钾b3c3|=ka1|b2c2；b3c3|-b1|ka2c2；ka3c3+c1|ka2b2；碳酸钾b3|
（35）
=k|a_1b_1c1；a2b2c2；a3b3c3|。
(36)

属性3源自身份

|a1+kb1b1c1；a2+kb2b2c2；a3+kb3b3c3=（a1+kb1）b2c2；b3c3|-b1|a2+kb2c2；a3+kb3c3+c1|a2+kb2b2；a3+kb3 b3。
（37）

如果a_（ij）是一个n×n 矩阵具有a_（ij） 实数，然后det[a_（ij）]其解释为面向n个-维度的内容的平行六面体由列向量跨越[a_（i，1）], ...,【a（i，n）】在里面R^n（R ^n）在这里，“定向”意味着，直到+或- 签名，数字是n个-维度的内容，但是签名取决于列向量的“方向”卷入的。如果他们同意标准方向+ 签名; 如果没有，则有一个- 签名. The平行六面体由n个-维度的向量第1版通过v_i是积分的集合

t1v_1++t _ iv _ i，
(38)

哪里时间是一个实数在中关闭间隔 [0,1].

一些报道称，刘易斯·卡罗尔（查尔斯·多奇森饰）曾向维多利亚女王发送过一份他的数学著作，初级论文关于行列式Heath（1974）说，“一个著名的故事讲述了女王维多利亚，被爱丽丝梦游仙境，表达了接受作者的下一部作品，并在适当的时候收到了一份亲笔题写的副本属于行列式初探，“而Gattegno（1974）断言“维多利亚女王爱丽丝这么多，让人知道她的愿望收到了作者的其他书籍，并收到了多奇森的一本数学著作。"然而，在符号逻辑（1896），卡罗尔说：“我抓住这个机会尽我所能公开我对一个愚蠢故事的矛盾在报纸上四处走动，谈论我向女王陛下赠送了某些书女王。我认为，它是如此不断地被重复，而且是如此的虚构值得一提的是，一劳永逸地说，这在每一个细节上都是完全错误的：甚至没有发生类似的事情”（米克尔森和米克尔森）。

DetComplexMatrix公司

Hadamard（1893）表明复杂的 n×n矩阵中的条目单元磁盘满足

|detA|<=n^（n/2）
(39)

（布伦纳1972）。上面的图显示了随机变量的行列式分布n×n带条目的复数矩阵令人满意的|a_（ij）|<1对于n=2,3和4。

另请参见

Cayley-Menger行列式,ChióPivotal冷凝,循环行列式,辅因子,冷凝,克拉默氏规则,未成年人的决定性扩张,行列式恒等式,初级行和列操作,哈达玛的最大行列式问题,黑森（Hessian）,超行列式,Immanant公司,雅可比（Jacobian）,结行列式,矩阵,次要,永久的,普法费安,奇异矩阵,西尔维斯特的决定因素身份,西尔维斯特矩阵,方程组,统一模块化矩阵,Vandermonde行列式,Wronskian公司 探索数学世界课堂上的这个主题

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参考文献

Andrews，G.E。和Burge，W.H。“确定性标识。”太平洋数学杂志。 158, 1-14, 1993.阿夫肯，G.《决定因素》§4.1数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第168-176页，1985Brenner，J.和Cummings，L.“阿达玛最大行列式”问题。"阿默尔。数学。每月 79, 626-630, 1972.多奇森，C.L.公司。安行列式及其在联立线性中的应用方程和代数几何。伦敦：麦克米伦出版社，1867年。加药器，G.公司。《期限Eléments de laéorie deséterminants》，avec申请阿尔盖布雷、三角洲和戈梅特里dans le plan et l’espace分析，第二版。巴黎：Gauthier-Villars，1905J·盖特格诺。刘易斯卡罗尔：镜子的碎片。纽约：Crowell，1974年。哈达玛，J.“关于辅助术语的统一问题的解决方案。”牛市。科学。数学。 17, 30-31, 1893.希思，P。这个哲学家的爱丽丝：爱丽丝梦游仙境和透过镜子的历险记。纽约：圣马丁出版社，1974年。科瓦列夫斯基（G.Kowalewski）。埃因夫胡龙在Determinantheorye中。纽约：切尔西，1948年。米克尔森，D.P.公司。Mikkelson，B.“适合女王”http://www.snopes.com/language/literry/carroll.htm.缪尔，T。A类行列式理论论。纽约：多佛，1960年。惠塔克，E.T.公司。和Robinson，G.“行列式和线性方程”，第5章在里面这个观察演算：数值数学论文，第4版。新建约克：多佛，第71-77页，1967年。Yvinec，Y.“几何计算：行列式的确切符号。"http://www-sop.inria.fr/prisme/personnel/yvinec/Deternants/english.html.

引用的关于Wolfram | Alpha

决定因素

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“决定因素。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Determinant.html网站

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