柱坐标是二维坐标的推广极坐标通过叠加高度实现三维()轴。不幸的是,有很多不同的符号用于其他两个坐标。要么或用于参考径向坐标和或到方位坐标。例如,Arfken(1985)使用,而Beyer(1987)使用在这项工作中符号 使用。
下表总结了许多作者使用的符号约定。
(径向、方位、垂直) | 参考 |
| 这部作品,Beyer(1987年,第212页) |
(卢比,蒂塔,Zz公司) | 设置坐标[圆柱形的]在中Wolfram语言包裹矢量分析` |
| 阿夫肯(1985年,第95页) |
| Moon and Spencer(1988年,第12页) |
| Korn和Korn(1968年,第60页) |
| 莫尔斯和费什巴赫(1953) |
根据笛卡尔坐标,
哪里,,,和逆切线必须适当定义取正确的象限考虑在内。
依据,,和
请注意,Morse和Feshbach(1953)通过以下公式定义圆柱坐标
哪里和.
这个米制的柱坐标的元素是
所以比例因子是
这个线条元素是
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(16)
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和体积元素是
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(17)
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这个雅可比(Jacobian)是
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(18)
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A类笛卡尔 矢量以柱坐标给出
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(19)
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要查找单位向量,
的衍生物单位向量相对于坐标是
这个梯度柱坐标中的运算符为由提供
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(32)
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所以梯度组件变为
这个第二类克里斯托弗符号在米斯纳的定义中等。(1973年,第209页)通过
这个第二个的克里斯托弗符号友善的在Arfken(1985)的定义中
(沃尔顿1967年;阿夫肯1985年,第164页,例3.8.10;穆恩和斯宾塞1988年,第12a页)。
这个协变导数然后给出通过
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(48)
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是
交叉产品坐标轴的
这个交换系数已给出通过
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(61)
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但是
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(62)
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所以,哪里.阿尔索
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(63)
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所以,.最后,
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(64)
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总结,
时间衍生物的矢量是
速度由提供
时间导数单位向量是
这个对流导数是
要重写此内容,请使用标识
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(83)
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并设置,以获得
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(84)
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所以
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(85)
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然后
这个卷曲在上面的表达式中给出
所以
我们预计梯度项将消失,因为速度不取决于位置。使用标识对此进行检查,
逐项审查,
所以,正如预期的那样,
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(108)
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我们已经计算了,所以将这三个部分结合起来
这个发散是
或,in矢量符号
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(116)
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这个卷曲是
标量拉普拉斯语是
这个向量拉普拉斯算子是
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(120)
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这个亥姆霍兹微分方程在柱坐标中是可分离的,并且具有斯泰克尔行列式 (用于,,)或(适用于莫尔斯和费什巴赫,、和).
另请参见
笛卡尔坐标,椭圆柱坐标,亥姆霍兹微分方程——圆柱坐标,极地的协调,球面坐标
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工具书类
Arfken,G.《圆柱坐标》第2.4节数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,第95-101页,1985Beyer,W.H。CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,1987年。科恩,总会计师。和Korn,T.M。数学科学家和工程师手册。纽约:McGraw-Hill,1968年。米斯纳,C.W。;Thorne,K.S。;和Wheeler,J.A。引力。旧金山:W.H。弗里曼,1973年。Moon,P.和Spencer,D.E。“圆-圆柱坐标“表1.02英寸字段理论手册,包括坐标系、微分方程及其解决方案,第2版。纽约:Springer-Verlag,第12-17页,1988年。莫尔斯,下午。和Feshbach,H。方法理论物理学,第一部分。纽约:McGraw-Hill,第657页,1953年。沃尔顿,J·J。“计算机上的张量计算:附录。”通信ACM 10,183-186, 1967.参考Wolfram | Alpha
圆柱坐标
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“圆柱坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html
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