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分圆多项式

多项式由

Phi_n（x）=产品_（k=1）^n^'（x-zeta_k），
（1）

哪里齐塔人（_k）是统一的根源在里面C类由提供

zeta_k=e^（2piik/n）
（2）

和k个遍历整数相对质数到n个如果取而代之的是产品，则可能会降低质数结束统一的原始根源，所以

Phi_n（x）=产品_（k=1；基本齐塔_k）^n（x-zeta_k）。
(3)

符号F_n（x）也经常遇到。迪克森等。（1923）和阿波斯托（1975）给出分圆多项式的广泛参考书目。

的分圆多项式n> 1个也可以定义为

Phi_n（x）=产品_（d|n）（1-x^（n/d））^（mu（d））
(4)

哪里亩（d）是莫比乌斯函数产品是接管除数d日属于n个（瓦尔迪1991年，第225页）。

分圆多项式根

Phi_n（x）是一个整数多项式和一个不可约的多项式的具有多项式次数 φ（n），其中φ（n）是指向函数.分圆多项式由沃尔夫拉姆语言命令独原子的[n个，x个]。分圆多项式的根位于单元圆圈在中复平面，如图所示上面是前几个分圆多项式。

分圆的

前几个分圆多项式是

Phi_1（x）=x轴-1
(5)
Phi_2（x）=x+1
(6)
Phi_3（x）=x^2+x+1
(7)
Phi_4（x）=x^2+1
(8)
Phi_5（x）=x^4+x^3+x^2+x+1
(9)
Phi_6（x）=x^2-x+1
(10)
Phi_7（x）=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
(11)
Phi_8（x）=x^4+1
(12)
Phi_9（x）=x^6+x^3+1
(13)
Phi_（10）（x）=x^4-x^3+x^2-x+1。
(14)
分光PhiReIm气旋性PhiContours

分圆多项式Phi_7（z）如上图所示复杂的飞机.

在通过原点的任何一行上，分圆多项式的值严格为在外部增加单位磁盘.

如果对是一个奇数素数，然后

功率因数_p（x）=（x^p-1）/（x-1）
(15)
=x（p-1）+x（p-2）++x+1
(16)
功率因数_（2p）（x）=（x^（2p）-1）/（x^p-1）（x-1）/（x^2-1）
(17)
=x^（p-1）-x^（p-2）+-x+1
(18)
功率因数_（4p）（x）=（x^（4p）-1）/
（19）
=x^（2p-2）-x^-x^2+1
（20）

（里塞尔1994年，第306页）。同样，对于对又是一个奇数素数，

x^p-1=Phi_1（x）Phi_p（x）
（21）
x^（2p）-1=Phi_1（x）Phi_2（x）Phi_p（x，Phi_（2p）（x）
(22)
x^（4p）-1=Phi_1（x）Phi_2（x）Phi_4（x）Phi_p（x）Phi_（2p）（x）Pi_（4p）（x）。
(23)

对于的前几个剩余值n个，

x轴-1=Phi_1（x）
(24)
x^2-1=Phi_1（x）Phi_2（x）
(25)
x^4-1=Phi_1（x）Phi_2（x）Phi_4（x）
(26)
x ^ 8-1=Phi_1（x）Phi_2（x）Phi_4（x）Phi_8（x）
（27）
x ^9-1=Phi_1（x）Phi_3（x）Phi_9（x）
(28)
x ^（15）-1=Phi_1（x）Phi_3（x）Phi_5（x）Phi_（15）（x）
(29)
x ^（16）-1=Phi_1（x）Phi_2（x）Phi_4（x）Phi_8（x）Pi_（16）（x）
(30)
x ^（18）-1=Phi_1（x）Phi_2（x）Phi_3（x
(31)

（里塞尔1994年，第307页）。

对于对一首要的相对于n个，

Phi_（np）（x）=（Phi_n（x^p））/（Phi_n（x）），
(32)

但如果页码，

Phi_（np）（x）=Phi_n（x^p）
（33）

（纳格尔1951年，第160页）。

一个显式方程Phi_n（x）对于无平方的 n个由提供

Phi_n（x）=总和_（j=0）^（φ（n））a_（nj）z^（Phi（n）-j），
(34)

哪里φ（n）是指向函数和a（nj）使用重现关系

a_（nj）=-（mu（n））/jsum_（m=0）^（j-1）a_（nm）mu（GCD（n，j-m））φ，
(35)

具有a_（n0）=1，哪里亩（n）是莫比乌斯函数和总CD（m，n）是最大的公约数属于米和n个.

这个多项式的 x ^n-1个可以分解为

x^n-1=product_（d|n）Phi_d（x）。
(36)

此外，

x^n+1个=（x^（2n）-1）/（x^n-1）
(37)
=（产品_（d|2n）Phi_d（x））/（产品_。
(38)

这个系数分圆的逆多项式的

1/（1+x+x^2）=1-x+x^3-x^4+x^6-x^7+x^9-。。。
(39)
=sum_（n=0）^（infty）c_nx^n
(40)

也可以根据

cn（立方厘米）=1-2|1/3（n+2）_|+|_1/3（n+1）_|+|_1/3n_|
(41)
=1-3|_1/3（n+2）_|+|n_|
(42)
=2/（sqrt（3））sin[2/3pi（n+1）]，
(43)

哪里|_x个_|是楼层功能.

对于对 首要的，

Phi_p（x）=总和_（k=0）^（p-1）x^k，
(44)

即系数都是1。第一个系数不是的分圆多项式+/-1而0是Phi_（105）（x），其系数为-2对于x ^7（x ^7）和x ^（41）。这是真的，因为105是第一个数字三个不同的奇数素数因素，即。，105=3·5·7（麦克莱伦和雷德1979年，施罗德1997年）。的最小值n个对于其中Phi_n（x）具有一个或多个系数+/-1，+/-2，+/-3, ... 是0、105、385、1365、1785、2805、3135、6545、6545，10465, 10465, 10465, 10465, 10465, 11305, ... （组织环境信息系统A013594级).

这似乎是真的，因为m、 n>1，如果Phi_m（x）+Phi_n（x）因子，则因子包含分圆多项式的。例如，

功率因数_7（x）+功率因数_（22）（x）=（x^2+1）（x^8-x^7+2x^4+2）
(45)
=Phi_4（x）（x^8-x^7+2x^4+2）。
(46)

该观察结果已被检查至m、 n=150（尼科尔，2000年）。如果米和n个是质数，那么C_m+C_n是不可约的。

Migotti（1883）表明系数属于Phi_（pq）（x）对于对和q个不同的素数只能是0,+/-1.Lam和Leung（1996）考虑

Phi_（pq）（x）=总和_（k=0）^（pq-1）a_kx^k
（47）

对于p、 q个 首要的.写下托蒂恩功能作为

φ（pq）=（p-1）（q-1）=rp+sq
(48)

然后让

0≤k≤（p-1）（q-1），
(49)

然后

1a_k=1 敌我识别 k=ip+jq对一些人来说[0，r]中的i和[0，s]中的j，

2a_k=-1 敌我识别 k+pq=ip+jq对于[r+1，q-1]中的i和j英寸[s+1，p-1]，

3.其他a_k=0.

具有a_k=1是（r+1）（s+1），以及具有a_k=-1是（p-s-1）（q-r-1）此外，假设q> 对然后是中间系数属于Phi_（pq）是（-1）^r.

Lehmer（1936）、Diederichsen（1940）和Apostol（1970）计算了分圆多项式的结果。众所周知ρ（Phi_m（x），Phi_n（x））=1如果（m，n）=1即。，米和n个相对最好（Apostol 1975）。Apostol（1975）显示对于正整数米和n个和任意非零复数一和b条，

ρ（Phi_m（ax），Phi_n（bx））=b^，
(50)

哪里δ=总成本（m，d）是最大公约数属于米和d日，φ（n）是指向函数，亩（n）是莫比乌斯函数，乘积超过了n个.如果米和n个是不同的素数对和q个，然后(50)简化为

对于a！=b，ρ（Phi_q（ax），Phi_p（bx））={（a^（pq）-b^（bq））/（a^p-b^p）（a-b）/（a ^q-b^q）；对于a=b，α^（（p-1）（q-1））。
(51)

下表给出了结果 rho（Phi_k（x）），Phi_n（x））（组织环境信息系统A054372号).

k个\n12三4567
10
220
三三10
42210
551110
61三4110
77111110

此表中连续行中的1s数由0、0、1、1、3、3、，5, 4, 6, 7, 9, ... （组织环境信息系统A075795号).

分圆多项式Phi_6（x）有特别好的麦克劳林系列

1/（Phi_6（x））=1+x-x^3-x^4+x^6+x^7-x^9-x^（10）+。。。，
(52)

其系数为1，0，-1，-1，0，1，1，0，-1，-1, ... （组织环境信息系统A010892号)通过求解递推方程得到

a（n）=a（n-1）-a（n-2）
(53)

具有a（0）=a（1）=1（沃尔夫拉姆2002，p128),给出显式形式

a（n）=2/3sqrt（3）sin[1/3（n+1）pi]。
（54）

有趣的是，任何序列b（n）满足线性的递推方程

b（n）=b（n-1）-b（n-2）
(55)

可以写为

b（n）=b（0）a（n）+[b（1）-b（0）]a（n-1）。
(56)

另请参见

Aurifeuillean因子分解，高斯分圆公式，卢卡斯的定理，莫比乌斯反演公式，统一的本原，根团结

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Polynomials/Cyclotomic/

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工具书类

阿波斯托·T·M·。“分圆多项式的结果。”程序。阿默尔。数学。Soc公司。 24, 457-462, 1970.阿波斯托·T·M·。“分圆多项式的结果F_m（最大值）和F_n（bx）."数学。计算。 29, 1-6, 1975.拜特，M.“分圆多项式的中期系数F_（pq）（x）."阿默尔。数学。每月 71, 769-770,1964Beiter，M.“分圆系数的大小”多项式的F_（pq）."阿默尔。数学。每月 75, 370-372, 1968.D.M.布鲁姆。“关于分圆多项式的系数。”阿默尔。数学。每月 75，372-377, 1968.布伦特，R.P。“关于分圆的计算因子多项式。"数学。计算。 61, 131-149, 1993.Carlitz，L.“分圆多项式中的项数F_（pq）（x）."阿默尔。数学。每月 73, 979-981,1966康威，J.H。和盖伊·R·K。这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，1996年。德布鲁因，N.G.公司。“关于循环群的因式分解。”印度。数学。 15，370-377, 1953.迪克森，L.E。；Mitchell，H.H。；Vandiver，H.S。；和Wahlin，G.E。代数数字。公牛国家研究委员会，第5卷，第3部分，第28号。华盛顿，DC：美国国家科学院。科学。，1923Diederichsen，F.-E.“更糟”Ausreduktion ganzzahliger Grupendarstellungen bei算术平均数。"阿布。数学。西安哈尼斯大学。 13, 357-412, 1940.林，T.Y.公司。和Leung，K.H。“关于分圆多项式功率因数（pq）（X）."阿默尔。数学。每月 103, 562-564,1996Lehmer，E.“关于分圆系数的大小”多项式的。"牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 42, 389-392, 1936.麦克莱伦，J.H。和Rader，C。编号数字信号处理理论。新泽西州恩格尔伍德悬崖：Prentice Hall，1979Migotti，A.“Kristeilungsgleichung理论”西兹伯。数学-大自然。凯撒分类。阿卡德。威斯康星州。，维恩 87，7-14, 1883.Nagell，T.“分圆多项式”和“分圆多项式的素除数。“第46条和第48条介绍数字理论。纽约：Wiley，第158-160和164-1681951页。尼科尔，C.《分圆多项式之和》，2000年4月26日。http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe？A2=ind0004&L=nmbrthry&T=0&F=&S=&P=2317.里塞尔，H.附录6中的“分圆多项式”。Prime（主要）因式分解的数字和计算机方法，第2版。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第305-308页，1994年。M.R.施罗德。编号科学与通信理论：在密码学、物理学、，数字信息、计算与自相似，第三版。纽约：Springer-Verlag，第245页，1997年。Séroul，R.“分圆多项式”§10.8英寸编程对于数学家来说。柏林：Springer-Verlag，第265-269页，2000年。斯隆，N.J。答：。序列A013594号，A010892号，A054372号、和A075795号在“整数序列在线百科全书”中特洛特，M.“数学指南附加材料：论证图形分圆多项式。"http://www.mathematicaguidebooks.org/addressions.shtml#N_2_03.瓦尔迪，一、。计算型数学娱乐。加利福尼亚州红木市：Addison-Wesley，第8页和224-2251991年。沃尔夫拉姆，S。一个新型科学。伊利诺伊州香槟市：Wolfram Media，2002年。

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分圆多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“分圆多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html

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