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保角映射

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共形映射，也称为共形映射、共形变换、保角变换或双全纯映射，是一种转型 w=f（z）保留当地特色角.安解析函数在任何点都是保角的其中有一个非零 导数.相反，具有连续偏导数的复变量的任何保角映射导数是解析的。保角映射在复杂的分析以及物理和工程的许多领域。

保留角度大小但不保留其方向的贴图称为等角映射（丘吉尔和布朗1990年，第241页）。

保形变换共形轮廓

上图显示了规则网格的几个保角变换。在上图中，等高线为|z（z）|与相应的轮廓一起显示转型。Moon and Spencer（1988）和Krantz（1999，第183-194页）给出了共形映射表。

Szegö的一种方法给出了正方形到圆盘的保角映射的迭代近似，并且可以使用椭圆函数实现精确映射（Oberhettinger和Magnus 1949；Trott 2004，第71-77页）。

让θ和φ成为曲线的切线伽马射线和f（伽马）在z0（零）和w_0（周_0）在中复平面,

w-w_0型=f（z）-f（z0）
(1)
=（f（z）-f（z0））/（zz0）
(2)
arg（w-w_0）=arg[（f（z）-f（z_0））/（z-z_0）]+arg（z-z_0）。
(3)

然后作为w->w_0和z->z0,

φ=argf^'（z0）+θ
(4)
|w|=|f^'（z_0）||z|。
(5)

A函数f： C->C是保角的若（iff）有复数a=0和b条这样的话

f（z）=az+b
(6)

对于z（单位：C）（《将军》1999年，第80页）。此外，如果h： C->C是一个分析函数，如下所示

lim_（|z|->+inft）|h（z）|=+inft，
(7)

然后小时是中的多项式z（z）（格林和“将军”1997；“将军”1999，第80页）。

保角变换在解决物理问题方面非常有用。通过出租w=f（z）,这个真实的和想像的部分属于w（z）必须满足Cauchy-Riemann方程和拉普拉斯方程，所以它们自动提供标量潜在的和所谓的流函数。如果可以找到解决方案有效的物理问题，通过工作，我们获得了一个可能很难直接获得的解决方案向后的。

例如，让

w（z）=Az^n=Ar^ne^（intheta），
(8)

这个真实的和想像的部分然后给予

φ=Ar^ncos（θ）
(9)
磅/平方英寸=Ar^nsin（ntheta）。
(10)
保形-2

对于n=-2,

φ=A/（r^2）cos（2θ）
(11)
磅/平方英寸=-A/（r^2）sin（2theta），
(12)

这是一个双重系统双纽线（兰姆1945年，第69页）。

保形-1

对于n=-1,

φ=A/rcostheta公司
(13)
磅/平方英寸=-A/r菊花。
(14)

此解决方案由以下两个系统组成圈子、和φ是势能函数两个人平行反向带电线电荷（费曼等人。1989, §7-5; 兰姆1945年，第69页）。

保形12

对于n=1/2,

φ=Ar^（1/2）cos（θ/2）=Asqrt（（sqrt（x^2+y^2）+x）/2）
(15)
磅/平方英寸=Ar^（1/2）sin（θ/2）=Asqrt（（sqrt（x^2+y^2）-x）/2）。
(16)

φ给出了薄板边缘附近的场（费曼等人。1989, §7-5).

保形1

对于n=1,

φ=Arcostheta=Ax
(17)
磅/平方英寸=Arsintheta=是的，
(18)

给出了两条直线（Lamb 1945，第68页）。

共形32

对于n=3/2,

w=Ar^（3/2）e^（3itheta/2）。
(19)

φ给出了矩形角外侧附近的场（费曼等人。1989,§7-5).

共形2

对于n=2,

周=A（x+iy）^2=A[（x^2-y^2）+2ixy]
(20)
φ=A（x^2-y^2）=Ar^2cos（2θ）
(21)
磅/平方英寸=2Axy=Ar^2sin（2theta）。
(22)

这是两个垂直的 双曲线、和φ是势能函数在…的中间附近两点电荷或带电体开口侧的场正确的角指挥（Feynman 1989，§7-3）。

另请参见

分析函数,Cauchy-Riemann方程,Cayley变换,保角的投影,离散保角映射,谐波函数,间接地保角映射,等角映射,拉普拉斯的方程式,莫比乌斯变换,拟共形映射,克里斯托费尔映射,类似 在数学世界课堂上探索这个主题

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Arfken，G.《保角映射》第6.7节数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第392-394页，1985伯格曼，S。这个核函数和保角映射。纽约：Amer。数学。Soc.，1950年。卡拉斯气味，C、。保角的代表。纽约：多佛，1998年。承运人G。；克鲁克，M。；和Pearson，C.E。功能复变量：理论与技术。纽约：McGraw-Hill，1966年。丘吉尔，对。和J.W.Brown。复杂变量和应用，第5版。纽约：McGraw-Hill，1990年。科克塞特，H.S.公司。M。和Greitzer，S.L。几何图形再次访问。华盛顿特区：数学。美国协会。，第80页，1967年。费曼，钢筋混凝土。；雷顿，R.B。；和Sands，M。这个费曼物理讲座，第2卷。加利福尼亚州雷德伍德市：Addison-Wesley，1989R.E.格林。和Krantz，S.G。功能一个复变量理论。纽约：威利出版社，1997年。卡兹内尔森，年。安谐波分析简介。纽约：多佛，1976年。科伯，H。字典共形表示的定义。纽约：多佛，1957年。“将军”，S.G.公司。“共形性”，“全纯函数的几何理论”“依赖保角映射的应用”和“图解共形映射目录。“§2.2.5，第6章，第14章和附录至Ch.14英寸手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第25、79-88页，以及163-194, 1999.Kythe，P.K。计算型保角映射。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，1998年。兰姆，H。流体动力学，第6版。纽约：多佛，1945年。Mathews，J.《保角映射》网址：http://www.ecs.fullerton.edu/~mathews/fofz/cmaps.html.月亮，P.和Spencer，D.E。“保角变换”。第2.01节字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第49-76页，1988年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H.《保角映射》第4.7节方法理论物理学，第一部分。纽约：McGraw-Hill，第358-362页和443-453, 1953.Z.内哈里。保角的映射。纽约：多佛，1982年。Oberhettinger，F.和Magnus，西。《Physik and Technik》中的Anwendungen der elliptischen Funktitionen。柏林：施普林格出版社，1949年。特罗特，M。这个编程数学指南。纽约：Springer-Verlag，2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/.

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保角映射

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“保角映射。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html

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