主题
搜索

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程的标量形式是部分微分方程

del ^2psi=0，
(1)

哪里删除^2是拉普拉斯算子.

注意操作员删除^2通常写为三角洲数学家（《将军》，1999年，第16页）。拉普拉斯的等式是亥姆霍兹微分方程

del ^2psi+k ^2psi=0
(2)

具有k=0,或泊松方程

del ^2磅/平方英寸=-4皮里奥
(3)

具有ρ=0.

向量拉普拉斯方程如下所示

del ^2F=0。
(4)

A类功能 磅/平方英寸它满足拉普拉斯方程谐波.拉普拉斯方程的解具有如下性质：球面上的平均值曲面等于球(高斯调和函数定理).解决方案没有局部最大值或最小值。因为拉普拉斯方程是线性的任意两个解的叠加也是一个解。

拉普拉斯方程的解是唯一确定的，如果（1）函数的值在所有边界上指定(迪里克莱边界条件)或（2）指定了函数的正态导数在所有边界上(诺依曼边界条件).

坐标系变量解决方案功能
笛卡尔X（X）Y（Y）Z（Z）指数函数,圆形的功能,双曲线函数
圆柱形R（R）θ（θ）Z（Z）贝塞尔函数,指数的功能,循环函数
圆锥形的椭球谐波，权力
共焦的椭球形的λ（λ）M（μ）N（nu）椭球形的第一类谐波
椭圆形圆柱形的U（U）V（V）Z（Z）马蒂厄功能,循环函数
扁球体λ（λ）M（μ）N（nu）勒让德多项式,圆形的功能
抛物线贝塞尔函数,循环函数
抛物线圆柱形抛物线气缸功能,贝塞尔函数,圆形的功能
抛物面的U（U）V（V）Theta（θ）循环函数
长球形λ（λ）M（μ）N（nu）勒让德多项式,圆形的功能
球形的R（R）Theta（θ）Phi（φ）勒让德多项式,权力,循环函数

拉普拉斯方程可以通过变量分离在所有11个坐标系中亥姆霍兹微分方程可以。这些解决方案的形式总结在上表。除了这11个坐标系之外，还可以实现分离在另外两个坐标系中引入乘法因子。在这些坐标系，分隔形式为

psi=（X_1（u_1）X_2（u_2）X_3（u_3）），
(5)

和设置

（h_1h_2h_3）/（h_i^2）=g_i（u_（i+1），u_（i+2））fi（u_i）R^2，
(6)

哪里h i（h i）是比例因子，给出了拉普拉斯方程

sum_（i=1）^31/（h_i^2X_i）[1/（f_i）d/（du_i）（f_i（dX_i）/（du_i））]=sum_（i=1）^31/（h_i^2R）[1/（f_i）partial/（partialu_i）（f_i（partialR）/（partialu_i））]。
(7)

如果右侧等于-k_1^2/F（u_1，u_2，u_3），其中k_1是一个常量，并且F类是任何函数，如果

h_1h_2h_3=Sf_1f_2f_3R^2f，
(8)

哪里S公司是Stäckel行列式，然后是可以使用亥姆霍兹微分方程。这种情况下的两个系统是双球面的和环形的，使总数拉普拉斯方程到13的可分离系统（莫尔斯和费什巴赫，1953年，第665-666页）。

在二维中双极坐标，拉普拉斯方程是可分离的，尽管亥姆霍兹微分方程不是。

Zwillinger（1997年，第128页）呼吁

（a_0x+b_0）y^（（n））+（a_1x+b_1）y_^（n-1））++（a_nx+b_n）y=0
(9)

拉普拉斯方程。

另请参见

边界条件,第一类椭球调和,谐波函数,亥姆霍兹微分方程,拉普拉斯算子,部分微分方程,泊松方程,变量的分离,斯泰克尔决定因素

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，1972年第17页。再见，W.E。一个傅里叶级数、球面、圆柱和椭球面初论谐波，及其在数学物理问题中的应用。纽约：多佛，1959年。艾森哈特，L.P。“欧几里得可分离系统3-空格。"物理审查 45, 427-428, 1934.艾森哈特，L.P.公司。“Stäckel的可分离系统。”安。数学。 35,284-305, 1934.艾森哈特，L.P。“施罗德丁的潜力方程是可分离的。"物理学。版次。 741948年8月87日至89日。“将军”，S.G.公司。《拉普拉斯方程》§7.1.1手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第16和89页，1999年。月亮，P.和Spencer，D.E。“拉普拉斯分离的最新研究方程式。"程序。阿默尔。数学。Soc公司。 4, 302, 1953.月亮，P.和Spencer，D.E。《十一坐标系》§1字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第1-48页，1988年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第125-126页和271, 1953.瓦利隆，G。这个常微分方程和代数函数的几何理论。马萨诸塞州布鲁克林：数学。科学。出版社，第306-315页，1950年。兹威林格，D.（编辑）。CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第417页，1995D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第128页，1997

参考Wolfram | Alpha

拉普拉斯方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“拉普拉斯方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquation.html

主题分类