作者：Laurie L.Lacey，斯克内克塔迪县社区学院
在离散结构（Discrete Structures）或离散数学（Discreate Mathematics）课程中，通常会将课程的很大一部分用于证明技术。这是斯克内克塔迪县社区学院的情况，自1999年以来，我一直在那里教授离散结构（以前称为离散数学）。我的许多学生都是非数学专业的学生；他们通常是计算机科学、计算机信息系统或网络专业的学生。他们中的一些人甚至是文科学生！概念？证据？对这些学生来说往往很陌生。计算机科学课程需要微积分，而其他课程不需要微积分。因此，在任何特定学期的任何特定部分都有非常不同的数学背景。作为一名出版过各种程序的数学家（maplets with mapleapps.com），为什么计算机科学、计算机信息系统或网络专业的学生没有看到数学证明技术与计算机编程之间的联系，这对我来说是一个谜。毕竟，他们确实将真值表、欧拉电路、最小生成树，甚至鸽子洞原理与其他类联系起来。几个学期后，我意识到学生们关注的是单词而不是结构。一旦我理解了这个问题，就可以很容易地扩展到证明的基本结构的流程图。一些学生随后明白了为什么他们要学习校样，尽管校样仍然很难。这些技术仍在开发中，但它可能对面临类似困境的其他讲师有用。然而，我提出了这个警告：流程图并不是要取代更传统的教学方法。我不会也不会专门使用它们，而只是作为补充来加强对证明技巧的学习。
这些流程图真的让全班活跃起来了。各个计算机专业的学生开始讨论他们以前看过流程图的编程课程。然后他们开始认识到数学证明和流程图之间的联系。学生们告诉我流程图允许他们这样做？看看证据中的自然步骤？一些学生在整个学期都参考了流程图。流程图对学生有帮助吗？像数学家一样思考？而不是试图记住一系列步骤。
学生们看到的第一种证明是直接证明。通常，我们从一些非常基本的数论证明开始。例如，可能会要求学生证明两个奇数之和是偶数。[1]
虽然这对我来说很基本，是吗？证明？与初学者相反，初学者可能没有任何课程比三角代数II更高级。在展示了几个示例之后，我随后显示了以下流程图：
直接证明
现在我们可以将流程图视为一个实际的定理，例如
定理：两个奇数之和是一个偶数。
然后，我们可以将此流程图转换为更标准的证明：
定理：两个奇数之和是一个偶数。
证明：首先，我们将语句重写为条件语句：Ifx个和年是两个奇数，那么x个+年是一个偶数。让x个= 2k个+1表示某个整数k个.让年= 2j个+1表示某个整数j个.我们需要这笔钱x个+年是二的整数倍。观察到这一点x个+年= 2k个+ 1 + 2j个+1、重新排列术语，并简化给出x个+年= 2k个+ 2j个+2 = 2(k个+j个+1). 自k个+j个+1是一个整数，如下所示x个+年是一个偶数。
学生还学习间接证明、矛盾证明以及数学归纳法。间接证明和矛盾证明的基本例子的流程图如下，尽管没有包括间接证明的具体例子。一些学期可能只是流程图本身，这取决于时间因素和学生？需要。
间接证明
矛盾证明
下面是一个学生可能通过矛盾证明的基本定理的例子。[1]
定理：证明如果x个是一个有理数，并且年是一个无理数，那么x个+年是一个无理数。
我们可以用流程图说明这个定理的证明。
无可否认，这在某种程度上过于简单化了（对学生来说）矛盾证明的复杂概念。然而，它确实给了学生一个视觉帮助，帮助他们通过证据。我将留给读者把流程图的元素综合成实际的证据。
我的离散结构课程通常有20-25名学生，我发现我不能总是给每个人足够的时间。诸如证明技术等难题可能会带来相当大的挑战。流程图的目的是将数学证明与计算机科学和计算机信息系统学生可能正在编写的程序联系起来。他们还可能学习到与他们在离散结构和计算机课程中学习的符号逻辑的联系。然而，有些学期，我发现我有一些文科学生报名参加了这门课程。那些文科学生对流程图的概念并不熟悉。我预计，对于他们来说，这种方法可能没有那么明确。在未来的几个学期里，当我的课堂上挤满了计算机科学专业的学生时，我希望能进一步阐述这项技术，并包括通过数学归纳法进行证明的流程图。我还希望包括存在证明的流程图，我会涵盖一些学期。
确认
我要感谢奥尔巴尼纽约州立大学的理查德·戈尔茨坦博士在提交之前阅读了这篇文章，并给予了鼓励。我还要感谢我的学生威廉·斯特曼和克莱尔·斯塔夫斯基的深刻评论。
[1] 科尔曼、巴斯比和罗斯（2004）。离散数学结构新泽西州上马鞍河：皮尔逊，普伦蒂斯·霍尔。
劳里·莱西(laceyl@verizon.net)毕业于SUNY Plattsburgh大学，获得化学学士学位，毕业于佛蒙特大学，获得数学硕士学位。1994年，她在奥尔巴尼纽约州立大学完成了数学博士学位。她的学术顾问是理查德·戈尔茨坦博士。她目前是纽约州斯克内克塔迪县社区学院的副教授。她的教学兴趣包括结合技术，主要是Maple，以帮助学生学习。她在Maple Corporation的应用中心（mapleapps.com）发布了Maple的多个应用程序。她为SCCC开发了一门离散结构课程，她继续喜欢教学和修改。
这个创新教学交流由编辑邦妮·戈尔德.
