双阶乘

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这个双阶乘（有时称为半阶乘的)的非负整数

n个

定义为正整数具有与相同的奇偶校验

n个

n个!!  :=    n个 ∏   我  = 1    [我≡n个 （模式2）]我, n个≥ 0,

哪里

[·]

是艾弗森支架，以及在哪里

n个= 0

我们得到的是空产品，即。1。

或者，我们有

     

0!!  :=  1, 1!!  :=  1, n个!!  :=    ⌊  n个 / 2⌋  −  1 ∏   我  = 0    (n个− 2 我), n个≥2。

非负整数的双阶乘递归定义为

     

0!!  :=  1, 1!!  :=  1, n个!!  := n个  ⋅  (n个− 2)!!, n个≥ 2.

A006882号双重阶乘

n个!!:一 (0) =一 (1) = 1;一 (n个) =n个  ⋅  一 (n个 −  2),n个  ≥   2

。

{1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654729075, 3715891200, 13749310575, 81749606400, 316234143225, ...}

正在为生成函数n个!!

这个生成函数对于

n个!!

是

G公司{n个!!}(x个)  :=    ∞ ∑   n个  = 0    n个!!x个 n个 =  ?.

这个指数生成函数对于

n个!!

是

E类{n个!!}(x个)  :=    ∞ ∑   n个  = 0    n个!!  x个 n个  n个!  =  1 +e（电子）   x个 2 / 2 (1 +   2√    π    2    电流变液  ( x个 2√  2   )),

哪里

电流变液 (z（z）)  :=   2 2√  π  ∫  z（z） 0 e（电子）  − t吨  2d日 t吨 =   2 2√  π       ∞ ∑   n个  = 0    (−1) n个 z（z） 2 n个  + 1 n个!  (2 n个+ 1)

是误差函数(电流变液  ).

A[通用]连分式生成函数对于

n个!!

是
     

C{n个!!}(x个)  = ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ?  ? +  ? ⋱ , n个≥ 0.

非负整数的双阶乘的倒数和

∞ ∑   n个  = 0    1 n个!!  =    ∞ ∑   n个  = 0    { 1 (2 n个)!! + 1 (2 n个+ 1)!! } =    ∞ ∑   n个  = 0    1 (2 n个)!!  +    ∞ ∑   n个  = 0    1 (2 n个+ 1)!!  =

2√  e（电子）  +  2√  e（电子）   ∞ ∑   n个  = 0    (−1) n个 (2 n个)!! (2 n个+ 1)  =  2√  e（电子） {1 +   ∞ ∑   n个  = 0    (−1) n个 (2 n个)!! (2 n个+ 1) }。

偶非负整数的双阶乘

偶数非负整数的二重阶乘由下式给出

(2 n个)!!  =  2 n个  n个!, n个≥ 0.

A000165号偶数的双阶乘：

(2 n个)!!  =  2 n个  n个!,n个  ≥   0

。

{1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, 10321920, 185794560, 3715891200, 81749606400, 1961990553600, 51011754393600, 1428329123020800, 42849873690624000, 1371195958099968000, ...}

正在为生成函数(2 n个)!!

这个生成函数对于

(2 n个)!!

是

G公司｛（2 n个)!!}(x个)  :=    ∞ ∑   n个  = 0    (2 n个)!!x个 n个 =  ?.

这个指数生成函数对于

(2 n个)!!

是

E类{(2 n个)!!}(x个)  :=    ∞ ∑   n个  = 0    (2 n个)!!  x个 n个  n个!  = E类{2 n个  n个!}(x个)  =  1 1 − 2 x个  =

∞ ∑   n个  = 0    (2 x个) n个 =    ∞ ∑   n个  = 0    2 n个  n个!  x个 n个  n个!  =    ∞ ∑   n个  = 0    (2 n个)!!  x个 n个  n个!  .

请注意以下内容麦克劳林系列膨胀

2√  1+sinx个  =    ∞ ∑   n个  = 0    (−1)  ⌊  n个 / 2⌋ (2 n个)!! x个 n个 =  1 + 1 2 x个− 1 8 x个 2− 1 48 x个 三+ 1 384 x个 4+ 1 3840 x个 5− 1 46080 x个 6− 1 645120 x个 7+⋯。

A[通用]连分式生成函数对于

(2 n个)!!

是
     

C{(2 n个)!!}(x个)  =  1 1 −  2 x个 1 −  2 x个 1 −  4 x个 1− 4 x个 1 −  6 x个 1 −  6 x个 1 −  8 x个 1 −  8 x个 ⋱ , n个≥ 0.

偶非负整数的双阶乘的倒数和

偶非负整数的双阶乘的倒数之和等于

2√  e（电子）

，自

∞ ∑   n个  = 0    1 (2 n个)!!  =    ∞ ∑   n个  = 0    1 2 n个  n个!  = {   ∞ ∑   n个  = 0     x个 n个  n个! }x个 =   1  2  = {e（电子） x个}x个 =   1  2  =  2√  e（电子）  。

奇非负整数的双阶乘

奇非负整数的双阶乘由下式给出

(2 n个+ 1)!!  =  (2 n个+ 1) (2 n个− 1)!!  =  (2 n个+ 1) (2 n个)! (2 n个)!!  =  (2 n个+ 1)! (2 n个)!!  =  (2 n个+1）！ 2 n个  n个! , n个≥ 0.

A001147号奇数的双阶乘：

(2 n个 −  1)!! = 1·三·5 ⋅  ... ⋅  (2 n个 −  1),n个  ≥   1

。

{1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, 2027025, 34459425, 654729075, 13749310575, 316234143225, 7905853580625, 213458046676875, 6190283353629375, 191898783962510625, ...}

正在为生成函数(2 n个+ 1)!!

这个生成函数对于

(2n个+ 1)!!

是

G公司{(2 n个  + 1)!!}(x个)  :=    ∞ ∑   n个   = 0    (2 n个+1）！！x个 n个 =  ?.

这个指数生成函数对于

(2n个+ 1)!!

是

E类{(2 n个  + 1)!!}(x个)  :=    ∞ ∑   n个   = 0    (2 n个+ 1)!!  x个 n个  n个!  =  1 2√  1 − 2 x个  .

A[通用]连分式生成函数对于

(2n个+ 1)!!

是
     

C{(2 n个  + 1)!!}(x个)  =  1 1 −  三 x个 1− 2 x个 1 −  5 x个 1 −  4 x个 1 −  7 x个 1 −  6 x个 1 −  9 x个 1 −  8 x个 ⋱ , n个≥ 0.

奇非负整数的双阶乘的倒数和

∞ ∑   n个   = 0    1 (2 n个+ 1)!!  =    ∞ ∑   n个   = 0    2 n个  n个! (2 n个+ 1)!  =    ∞ ∑   n个   = 0    (2 n个)!! (2 n个)! (2 n个+ 1)  =

2√   π  e（电子） 2   电流变液  ( 1 2√  2  ) =  2√  e（电子）    ∞ ∑   n个   = 0    (−1) n个 2 n个  n个! (2 n个+ 1)  =  2√  e（电子）    ∞ ∑   n个   = 0    （−1） n个 (2 n个)!! (2 n个+ 1)  .

这是幂级数的一部分

2√  π e（电子） / 2

获得自拉马努扬的非凡公式评估时间：

x个= 1

。十进制扩展（非常接近

2√  2 = 1.414213562373095...

，请参阅A002193号)是

∞ ∑   n个   = 0    1 (2 n个+ 1)!!  =  1.410686134642447997690824711419115041323478....

A060196号的十进制扩展

∑ ∞ k个   = 0 1 (2 k个+ 1)!! = 1 + 1 1·三 + 1 1·三·5 + 1 1·三·5·7 +。。。

。

{1, 4, 1, 0, 6, 8, 6, 1, 3, 4, 6, 4, 2, 4, 4, 7, 9, 9, 7, 6, 9, 0, 8, 2, 4, 7, 1, 1, 4, 1, 9, 1, 1, 5, 0, 4, 1, 3, 2, 3, 4, 7, 8, 6, 2, 5, 6, 2, 5, 1, 9, 2, 1, 9, 7, 7, 2, 4, 6, 3, 9, 4, 6, 8, 1, 6, 4, 7, 8, 1, 7, 9, 8, 4, 9, 0, 3, 9, ...}

双因子二项式系数

这个双因子二项式系数是

     

(( n个 第页 )) :=  n个!! (n个−第页)!! 第页!!  .

多因素

这个

k个

-多因素的的非负整数

n个

定义为正整数具有相同的同余

（修订版k个 )

作为

n个

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{n\underbrace{！\cdots\，！}_{k~{text{times}}:=\prod_{i=1}^{n}\，[i\equivn{\pmod{k}}]\，i，\quadn\geq0，}\end{arrary}}}$

哪里

[·]

是艾弗森支架，以及在哪里

n个= 0

我们得到的是空产品，即。1。

或者，我们有

${\显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{\bench{对齐}0\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{text{times}}&：=1，\\n\underbrace{！\tdots\，！}_{k~}\text{times{}&：=n，\quad 1\leqn\leqk-1，\\n\ underbrace{！\sdots\ \，i），\四元n\geqk.\end{aligned}}\end{array}}}{对齐}0\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{text{times}}&：=1，\\n\underbrace{！\tdots\，！}_{k~}\text{times{}&：=n，\quad 1\leqn\leqk-1，\\n\ underbrace{！\sdots\ \，i），\四元n\geqk.\end{aligned}}\end{array}}}$

非负整数的多因子递归定义为

${\显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{\bench｛对齐｝0\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{text{times}}&：=1，\\n\underbrace{！\tdots\，！}_{k~}\text{times{}&：=n，\quad 1\leqn\leqk-1，\\n\ underbrace{}，\quad n \geq k。\end{对齐}}\end}数组}}}｛对齐｝0\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{text{times}}&：=1，\\n\underbrace{！\tdots\，！}_{k~}\text{times{}&：=n，\quad 1\leqn\leqk-1，\\n\ underbrace{}，\quad n \geq k。\end{对齐}}\end}数组}}}$

多因素分析

k个	${\显示样式\文本样式{n\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{\text{times}}}，\，n\geq0}}$	A编号
0	{1, 1, ?, ...}（有可能推广k=0吗？）	A？？？？？？
1	{1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, ...}	A000142号
2	{1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654729075, 3715891200, 13749310575, 81749606400, ...}	A006882号
三	{1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, 1944, 3640, 12320, 29160, 58240, 209440, 524880, 1106560, 4188800, 11022480, 24344320, 96342400, 264539520, 608608000, ...}	A007661号
4	{1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, 384, 585, 1680, 3465, 6144, 9945, 30240, 65835, 122880, 208845, 665280, 1514205, 2949120, 5221125, 17297280, 40883535, 82575360, ...}	A007662号
5	{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 24, 36, 50, 66, 168, 312, 504, 750, 1056, 2856, 5616, 9576, 15000, 22176, 62832, 129168, 229824, 375000, 576576, 1696464, 3616704, 6664896, ...}	A085157号
6	｛1，1，2，3，4，5，6，7，16，27，40，55，72，91，224，405，640，935，1296，1729，4480，8505，14080，21505，31104，43225，116480，229635，394240，623645，933120，1339975，…｝	A085158号
7	{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 30, 44, 60, 78, 98, 120, 288, 510, 792, 1140, 1560, 2058, 2640, 6624, 12240, 19800, 29640, 42120, 57624, 76560, 198720, 379440, 633600, 978120, ...}	A114799号
8	{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 33, 48, 65, 84, 105, 128, 153, 360, 627, 960, 1365, 1848, 2415, 3072, 3825, 9360, 16929, 26880, 39585, 55440, 74865, 98304, 126225, 318240, ...}	A114800个
9	{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 22, 36, 52, 70, 90, 112, 136, 162, 190, 440, 756, 1144, 1610, 2160, 2800, 3536, 4374, 5320, 12760, 22680, 35464, 51520, 71280, 95200, ...}	A114806号
10
11
12

多重二项式系数

这个多因子二项式系数是

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{\underbrace{\left（\cdots\left（{n\top-r}\right）\cdots/right）}_{k~{\text{times}}：={\frac{n\underbrace{！\cdots \，！}_{k~{text{times{}}}{（n-r）\underlace{！\ cdots；\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{\text{times}}}}.}\结束｛array｝｝｝\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{\text{times}}}}.}\结束｛array｝｝｝$

另请参见

• 因子分解