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A368381型 整数k的权重为k/2,是eta函数的乘积。
(历史;已发布版本)
第6版批准人N.J.A.斯隆2024年2月27日星期二00:27:14 EST
名称

整数k的权重为k/2,是eta函数的乘积。

数据

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 26

抵消

1,2

评论

Borcherds指出,这也是数字k的列表,因此正交群O_{k,2}(R)上有模形式,可以写成“有趣的无穷乘积”。

参考文献

R·E.博尔切兹, (1994). 零星群和弦论。第一届欧洲数学大会:巴黎,1992年7月6日至10日,第一卷特邀讲座(第一部分)(第411-421页)。巴塞尔:Birkhäuser Basel。[这与下面链接中的文章不同。请勿删除此参考。]

F.Dyson,错过的机会,公牛。阿默尔。数学。Soc.78(1972),635-652。

J.-P.Serre,《格拉斯哥数学期刊》27(1985)203-221。[Borcherds评论说,该引用省略了 这个 18,然而重量为18/2的形式eta(q)^9*eta(q^2)^9似乎是有缺陷的.]

链接

R.E.Borcherds,<a href=“https://math.berkeley.edu/~reb/papers/ecm/ecm.pdf“>零星群和弦论 属于 谈话 引用的 在上面).

关键词

非n,完成,满的,新的

作者

N.J.A.斯隆2024年2月26日

状态

经核准的

A368381型 整数k的权重为k/2,是eta函数的乘积。
(历史;已发布版本)
第4版批准人N.J.A.斯隆2024年2月27日星期二00:16:32 EST
名称

分配给N.J.A.Sloane

整数k的权重为k/2,是eta函数的乘积。

数据

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 26

抵消

1,2

评论

Borcherds指出,这也是数字k的列表,因此正交群O_{k,2}(R)上有模形式,可以写成“有趣的无穷乘积”。

参考文献

Borcherds,R.E.(1994)。零星群和弦论。第一届欧洲数学大会:巴黎,1992年7月6日至10日,第一卷特邀讲座(第一部分)(第411-421页)。巴塞尔:Birkhäuser Basel。[这与下面链接中的文章不同。请勿删除此参考。]

F.Dyson,错过的机会,公牛。阿默尔。数学。Soc.78(1972),635-652。

J.-P.Serre,《格拉斯哥数学期刊》27(1985)203-221。[Borcherds指出,该参考省略了18,但重量18/2的形式eta(q)^9*eta(q^2)^9似乎是空白的。)

链接

R.E.Borcherds,<a href=“https://math.berkeley.edu/~reb/papers/ecm/ecm.pdf“>零星群和弦论(扩展版)。

关键词

分配

非n,完成,满的,新的

作者

N.J.A.斯隆2024年2月26日

状态

经核准的

A370075型 Euler函数的迭代部分和(A000010号)。通过递减反对角线读取的方形数组。
(历史;已发布版本)
第14版批准人N.J.A.斯隆2024年2月26日星期一10:42:53 EST
名称

已迭代 部分 总和 属于 欧拉 托蒂恩 功能(A000010号).方形 阵列 阅读 通过 下降 反对症.

数据

1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 4, 3, 1, 4, 6, 7, 4, 1, 2, 10, 13, 11, 5, 1, 6, 12, 23, 24, 16, 6, 1, 4, 18, 35, 47, 40, 22, 7, 1, 6, 22, 53, 82, 87, 62, 29, 8, 1, 4, 28, 75, 135, 169, 149, 91, 37, 9, 1, 10, 32, 103, 210, 304, 318, 240, 128, 46, 10, 1

抵消

1,4

配方奶粉

T(1,k)=A000010号(k) 对于k>=1;T(n,k)=Sum_{i=1..k}T(n-1,i)对于n>1,k>=1。

例子

前10行和前10列:

n\k |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

----+---------------------------------------------------------

1 | 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 ... =A000010号

2 | 1 2 4 6 10 12 18 22 28 32 ... =A002088号

3 | 1 3 7 13 23 35 53 75 103 135 ... =A103116号

4 | 1 4 11 24 47 82 135 210 313 448 ...

5 | 1 5 16 40 87 169 304 514 827 1275 ...

6 | 1 6 22 62 149 318 622 1136 1963 3238 ...

7 | 1 7 29 91 240 558 1180 2316 4279 7517 ...

8 | 1 8 37 128 368 926 2106 4422 8701 16218 ...

9 | 1 9 46 174 542 1468 3574 7996 16697 32915 ...

10 | 1 10 56 230 772 2240 5814 13810 30507 63422 ...

...

数学

T[1,k_]:=EulerPhi[k];T[n_,k_]:=T[n,k]=和[T[n-1,i],{i,1,k}];表[T[k,n-k+1],{n,1,11},{k,1,n}]//扁平(*阿米拉姆·埃尔达尔2024年2月9日*)

黄体脂酮素

(MATLAB)

函数out=a(n)

Z=零(n);

A=数组函数(@eulerPhi,[1:n]);

Z(1,1:n)=A;

对于i=2:n

A=累计(A);

Z(i,1:n)=A;

结束

[nr,nc]=尺寸(Z);

[R,C]=ndgrid(1:nr,1:nc);

M=[重塑(R+C,[],1),R(:)];

[~,ind]=排序行(M);

Z=Z(ind)’;

输出=Z(1,n);

交叉参考

囊性纤维变性。A000010号(欧拉φ),A002088号(Euler phi部分和),A103116号(Euler phi对两次迭代进行部分求和)。

关键词

分配

非n,,新的

作者

迈尔斯·恩格利佐2024年2月8日

状态

经核准的

A369700型 约化方向函数的莫比乌斯变换(A002322号).
(历史;已发布版本)
第14版批准人N.J.A.斯隆2024年2月26日星期一10:42:35 EST
名称

M(M)ö比乌斯 转型 属于 减少 托蒂恩 功能(A002322号).

数据

1, 0, 1, 1, 3, 0, 5, 0, 4, 0, 9, -1, 11, 0, -1, 2, 15, 0, 17, -1, -1, 0, 21, 0, 16, 0, 12, -1, 27, 0, 29, 4, -1, 0, 3, 0, 35, 0, -1, 0, 39, 0, 41, -1, 4, 0, 45, 0, 36, 0, -1, -1, 51, 0, 7, 0, -1, 0, 57, 1, 59, 0, -4, 8, -3, 0, 65, -1, -1, 0

抵消

1,5

评论

A002322号(n)=A000010号(n) 对于n=1、2、4和奇数素数幂,a(n)=A007431号(n) 对于相同的n值。

配方奶粉

a(n)=和{d|n}A008683号(d)*A002322号(n/d)。

例子

a(8)=mu(1)*lambda(8)+mu(2)*lambeda。

数学

a[n_]:=除数总和[n,MoebiusMu[#]*CarmichaelLambda[n/#]&];数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2024年1月29日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=sumdiv(n,d,moebius(d)*lcm(znstar(n/d)[2])

交叉参考

囊性纤维变性。A008683号,A002322号,A000010号,A007431号.

关键词

分配

签名,新的

作者

迈尔斯·恩格利佐2024年1月29日

状态

经核准的

讨论
2月6日星期二 12:28
米歇尔·马库斯:请参见A367460
13:45
安德鲁·霍罗伊德:请不要干涉他人的编辑。
13:51
迈尔斯·恩格利佐:当然可以,很抱歉。我已经从A367460中删除了无效的pari代码,这是我的错误
A000688号 n阶阿贝尔群的个数;n分解成素数幂的次数。
(历史;已发布版本)
191号修订版批准人N.J.A.斯隆美国东部时间2024年2月26日星期一10:42:07
身份证件

M0064编号0020

名称

n阶阿贝尔群的个数;n分解成素数幂的次数。

数据

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1

抵消

1,4

评论

等价地,具有n个共轭类的Abelian群的个数-迈克尔·索莫斯2010年8月10日

a(n)只依赖于n的素数签名(参见。A025487号)。所以a(24)=a(375)因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名(3,1)。

还有具有n个元素的环的数目,这些元素是场的直接乘积;这些是n个元素没有幂零的交换环;同样地,交换环中每个元素x都有一个k>0,使得x^(k+1)=x-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月20日

范围是A033637号.

a(n)=1当且仅当n来自A005117号(无平方数)。参见Ahmed Fares的评论,以及下面的n>=2公式-沃尔夫迪特·朗2012年9月9日

此外,根据Molnár的一个定理(参见[Molnаr]),2*n+1阶(非同构)阿贝尔群的数量等于r^n通过交叉的非同构格Z分片的数量,其中“交叉”是r^n中的一个单位立方体,其在每个面上都附加了另一个单位立方(Z,r分别是整数和实数)。(参见[Horak]。)-L.埃德森·杰弗里2012年11月29日

Zeta(k*s)是数字的特征函数的Dirichlet生成函数,其为k次幂(k=1 inA000012号,k=2英寸A010052号,k=3英寸A010057号,参见arXiv:1106.4038第3.1节)。k上的无穷乘积(此处)是表示数n=product_i(b_i)^(e_i),其中所有指数e_i是不同的,且>=1。示例:a(n=4)=2:4^1=2^2。a(n=8)=3:8^1=2^1*2^2=2^3。a(n=9)=2:9^1=3^2。a(n=12)=2:12^1=3*2^2。a(n=16)=5:16^1=2*2^3=4^2=2^2*4^1=2^4。如果e_i是集合{1,2},我们得到A046951号,表示为一个数和一个平方的乘积的表示数-R.J.马塔尔2016年11月5日

请参见A060689号对于n阶非阿贝尔群的个数-M.F.哈斯勒2017年10月24日

参考文献

史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第274-278页。

D.S.Mitrinovic等人,《数论手册》,Kluwer,第XIII.12节,第468页。

J.S.Rose,群论课程,坎布。大学出版社,1978年,见第7页。

N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

A.Speiser,《Gruppen von endlicher Ordnung的模具理论》,第4页。Auflage,Birkhäuser,1956年。

链接

T.D.Noe,<a href=“/A000688号/b000688.txt“>n,a(n)表,n=1..10000</a>

Tak-Shing T.Chan和Y.-H.Yang,<a href=“https://doi.org/10.109/TSP.2016.2612171“>Polar n-复数和n-双复数奇异值分解和主成分追求</a>,IEEE信号处理汇刊(第64卷,第24期,2016年12月15日,15日);DOI:10.1109/TSP.2016.2612171。

I.G.Connell,<a href=“http://cms.math.ca/10.4153/CBM-1964-002-1“>关于有限群和环的数论问题,加拿大数学通报,7(1964),23-34。

I.G.Connell,<a href=“/A000688号/a000688.pdf“>致N.J.A.Sloane的信,无日期</a>

P.Erdős和G.Szekeres,<a href=“http://acta.bibl.u-szeged.hu/13441/1/math_007_095-102.pdf“>《Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung undüber ein verwandtes zahlentheoretisches Problem》,《科学数学学报》,第7卷(1935年),第95-102页。

Steven R.Finch,<a href=“http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/constant/abel/abel.html“>Abelian组枚举常量</a>[断开的链接]

Steven R.Finch,<a href=“http://web.archive.org/web/20010603070928/http://www.maths.com/asolve/constant/abel/abel.html“>阿贝尔组枚举常量

P.Horak,<a href=“http://dx.doi.org/10.2478/v10127-010-0004-y“>纠错代码和闵可夫斯基猜想,塔特拉山数学出版社,45(2010),第40页。

B.Horvat、G.Jaklic和T.Pisanski,<a href=“http://arXiv.org/abs/math.CO/0503183“>关于哈密顿群的数目,arXiv:math/0503183[math.CO],2005。

D.G.Kendall,R.A.Rankin,<A href=“http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-18.1.197“>关于给定阶的阿贝尔群的个数,Q.J.Math.18(1947)197-208。

Nobushige Kurokawa和Masato Wakayama,<a href=“https://doi.org/10.3792/pjaa.78.126“>Zeta扩展</a>.Proc.Japan Acad.Ser.a Math.Sci.78(2002),no.7,126--130<a href=“http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1930216“>MR1930216(2003h:111112)</a>。

E.Molnár,<a href=“http://www.bdim.eu/item?id=RLINA_1971_8_51_3-4_1 77_0“>《Sui mosaici dello spazio di dimensione n》,Atti Accad.Naz.Lincei,VIII.Ser.,Rend.,Cl.Sci.Fis.Mat.Nat.51(1971),177-185。

H.-E.Richert,<a href=“http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002382776&amp;IDDOC=157448“>《Anzahl Abelscher Gruppen gegebener Ordnung I》,数学Zeitschr.56(1952)21-32。

Marko Riedel,<a href=“http://math.stackexchange.com/questions/955649/“>计算阿贝尔群,数学堆栈交换,2014年10月。

拉兹洛·托特(Laszlo Toth),<a href=“http://arxiv.org/abs/203.6473“>关于给定阶的阿贝尔群的数量的一个注释</A>,arXiv:12036473[math.NT],(2012)。

Eric Weisstein的《数学世界》,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/AbelianGroup.html“>Abelian集团</a>

Eric Weisstein的《数学世界》,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html“>有限群</a>

Eric Weisstein的《数学世界》,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Kronecker分解定理.html“>Kronecker分解定理</a>

<a href=“/index/Gre#groups”>为与组相关的序列索引条目</a>

<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

配方奶粉

与a(p^k)相乘=k的分区数=A000041号(k) ;如果(m,n)=1,则a(mn)=a(m)a(n)。

a(2n)=A101872号(n) ●●●●。

a(n)=产品{j=1..n(n)}A000041号(e(j)),n>=2,如果

n=乘积{j=1..n(n)}素数(j)^e(j),n(n=A001221号(n) ●●●●。参见Richert参考,引用A.Speiser关于有限群的书(德语,第51页,大写)-沃尔夫迪特·朗2011年7月23日

根据对称群的循环指数:Product_{q=1..m}[z^{v_q}]z(S_v)1/(1-z),其中v是n的素因式分解中任何素数的最大指数,v_q是素因子的指数,z(S_v)是v元素上对称群的周期指数-马尔科·里德尔2014年10月3日

Dirichlet g.f.:求和{n>=1}a(n)/n^s=Product_{k>=1}zeta(ks)[Kendall]-阿尔瓦·伊贝亚斯2014年11月5日

a(n)=2,对于所有n inA054753号并且对于所有n inA085987号.a(n)=3,对于所有n inA030078型并且对于所有n inA065036号.a(n)=4,对于所有n inA085986号.a(n)=5,对于所有n inA030514型并且对于所有n inA178739号.a(n)=6,对于所有n inA143610型. -R.J.马塔尔2016年11月5日

A050360型(n) =一个(A025487号(n) )。a(n)=A050360型(A101296号(n) )-R.J.马塔尔2017年5月26日

a(n)=A000001号(n)-A060689号(n) ●●●●-M.F.哈斯勒2017年10月24日

发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2020年11月1日:(开始)

a(n)=a(A057521美元(n) )。

渐近平均值:lim_{n->oo}(1/n)*Sum_{k=1..n}a(k)=A021002型.(结束)

a(n)=A005361号(n) 除非n是A046101号,自A000041号(x) =x表示x<=3-迈尔斯·恩格利佐2024年2月17日

例子

a(1)=1,因为平凡群{e}是唯一的1阶群,它是阿贝尔群;或者,因为将1分解为素数幂的唯一因子是空积。

对于任何素数p,a(p)=1,因为素数幂的唯一因式分解是p=p^1,并且(根据拉格朗日定理)只有一组素数阶p;它同构于(Z/pZ,+),因此是阿贝尔的。

发件人沃尔夫迪特·朗2011年7月22日:(开始)

a(8)=3,因为8=2^3,因此a(8”=pa(3)=A000041号(3) 从分区(3)、(2,1)和(1,1,1)中取=3,得到8:8、4*2和2*2*2的3个因式分解。

a(36)=4,因为36=2^2*3^2,因此从分区(2)和(1,1)中a(36,)=pa(2)*pa(2。

(结束)

MAPLE公司

with(combint):readlib(ifactors):对于n从1到120,do ans:=1:对于i从1到nops(ifactor(n)[2]),do ans:=ans*numbpart(ifacters(n)[2][i][2])od:printf(`%d,`,ans):od:#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日

数学

f[n_]:=时间@@PartitionsP/@Last/@因子整数@n; 数组[f,107](*罗伯特·威尔逊v2006年9月22日*)

表[FiniteAbelianGroupCount[n],{n,200}](*需要7.0或更高版本-弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年7月1日*)

黄体脂酮素

(PARI)A000688号(n) ={局部(f);f=因子(n);prod(i=1,矩阵大小(f)[1],数字部分(f[i,2]))}\\迈克尔·波特2010年2月8日

(PARI)a(n)=我的(f=系数(n)[,2]);触头(i=1,#f,数字部分(f[i]))\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月16日

(鼠尾草)

定义a(n):

F=系数(n)

返回prod([number_of_partitions(F[i][1])for i in range(len(F))])

#拉尔夫·斯蒂芬2014年6月21日

(哈斯克尔)

a000688=产品。地图a000041。a124010_低

--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月28日

(Python)

来自sympy import factorint,npartitions

从数学导入prod

定义A000688号(n) :return prod(映射(npartitions,factorint(n).values()))#柴华武2022年1月14日

交叉参考

囊性纤维变性。A000001号,A021002型,A060689号,A000041号,A000961号,A001055号,A005361号,A034382号,A046054号,A046055型,A046056号,A046101号,A050360型,A055653号,A057521美元,A101872号(二等分),A101876号(四等分),A124010型,A050361号,A051532号,A129667号(Dirichlet逆)。

囊性纤维变性。A080729号(s=2时的Dgf),A369634型(s=3时的Dgf)。

关键词

非n,核心,容易的,美好的,多重,改变

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的

讨论
2月18日周日 01:49
乔格·阿恩特:“n=A046101(k)时除外”?你的意思是“如果n是A046101的一个术语”吗?
02:00
迈尔斯·恩格利佐:是的,没错。也许更清楚的说法是“如果n是A046101的一个术语”?
A370456型 对于n>0,a(0)=1,a(n)=(1/2)*和{j=1..n}(1-(-1)^j-(-2)^j)*二项式(n,j)*a(n-j)。
(历史;已发布版本)
第25版批准人N.J.A.斯隆2024年2月26日星期一10:41:23 EST
名称

分配给Prabha Sivaramannair

对于n>0,a(0)=1,a(n)=(1/2)*和{j=1..n}(1-(-1)^j-(-2)^j)*二项式(n,j)*a(n-j)。

数据

1, 2, 6, 29, 192, 1577, 15516, 178229, 2339952, 34559057, 567117876, 10237161629, 201592448712, 4300618438937, 98803485774636, 2432074390036229, 63857242954421472, 1781444969999245217, 52620896463516221796, 1640684857196257578029, 53847865360369426418232

抵消

0,2

配方奶粉

例如:2*exp(2*x)/(1+exp(x)+exp(2%x)-exp(3*x))。

黄体脂酮素

(SageMath)

定义a(m):

如果m==0:

返回1

其他:

返回1/2*总和([1,..,m]]中j的[(1-(-2)^j-(-1)^j)*二项式(m,j)*a(m-j))

列表([0,..,20]中m的a(m))

(PARI)seq(n)={my(p=exp(x+O(x*x^n)));Vec(serlaplace(2*p^2/(1+p+p^2-p^3))}\\安德鲁·霍罗伊德2024年2月23日

交叉参考

囊性纤维变性。A370092飞机.

关键词

分配

非n,新的

作者

Prabha Sivaramannair公司2024年2月23日

状态

经核准的

讨论
2月23日星期五 23:04
安德鲁·霍罗伊德:A370092可以是交叉参考?
2月24日星期六 01:49
Prabha Sivaramannair公司:是的,我们可以交叉参考A370092
A369795型 的二项式变换A355408型.
(历史;已发布版本)
第31版批准人N.J.A.斯隆2024年2月26日星期一10:40:59 EST
名称

二项式 转型 属于 A355408型.

数据

1, 3, 21, 225, 3201, 56913, 1214361, 30229545, 860016801, 27525472353, 978858962601, 38291126920665, 1634047719138801, 75542860973042193, 3761030066169432441, 200624240375801784585, 11415336789685550907201, 690117422445926970890433, 44175435307592982599575881

抵消

0,2

配方奶粉

对于n>0,a(n)=1+和{k=1..n}(3^k-1)*二项式(n,k)*a(n-k)。

例如:exp(x)/(1+exp(x)-exp(3*x))-瓦茨拉夫·科泰索维奇2024年2月1日

数学

nmax=20;系数列表[系列[E^x/(1+E^x-E^(3*x)),{x,0,nmax}],x]*

范围[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科泰索维奇2024年2月1日*)

黄体脂酮素

(SageMath)

定义a(m):

如果m==0:

返回1

其他:

返回1+和([1,..,m]]中j的[(3^j-1)*二项式(m,j)*a(m-j))

列表(a(m)代表[1,..,50]中的m)

交叉参考

囊性纤维变性。A355408型.

关键词

分配

非n,新的

作者

Prabha Sivaramannair公司2024年2月1日

状态

经核准的

讨论
2月1日星期四 08:37
乔恩·肖恩菲尔德:名称需要以句点结尾…
08:38
乔恩·肖恩菲尔德:…并且Crossrefs条目需要以“Cf.”开头,以句点结尾。
08:44
阿洛伊斯·海因茨:偏移量不正确。。。
08:48
阿洛伊斯·海因茨:请参见:https://oeis.org/wiki/Style_Sheet#数据
2003年2月6日 11点59分
安德鲁·霍罗伊德:作者不签署自己的材料(未签名的公式/注释/程序被认为是作者提供的)。也无需在公式中指定a(0)=1(它只是重复数据字段中的内容,公式不需要是完整的规范,并且公式对于n>0是正确的。之后可能会有几个递归,如果它们都给出了初始项,则看起来是重复的)
12:01
安德鲁·霍罗伊德:请将SageMath函数重命名为a(m),而不是fn(m)(假设它返回a(n))-当人们遵循相同的约定时,这会使您的程序更加地道,更容易理解。
12:03
安德鲁·霍罗伊德:“print([fn(m)for m in range()])”是否有效SageMath?
12:03
安德鲁·霍罗伊德:程序如何知道范围?
12点48分
安德鲁·霍罗伊德:让我们把定义放在一个新的行上-我的理解是Sage对正确的缩进很挑剔。
A000073号 Tribonacci数:a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a。
(历史;已发布版本)
640版批准人N.J.A.斯隆美国东部时间2024年2月26日星期一10:40:05
身份证件

M1074编号0406

名称

Tribonacci数:a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a。

数据

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, 615693474, 1132436852

抵消

0,5

评论

此外(对于n>1)具有n+1个边且所有叶子都位于第三级的有序树的数量。示例:a(4)=2,因为我们有两棵有序的树,有5条边,所有的叶子都在第三层:(i)一条边从根部发出,在其末端悬挂着两条长度为2的路径;(ii)一条长度为2的路径从根部发出,在其末端悬挂着三条边-Emeric Deutsch公司2004年1月3日

a(n)是不大于3的n-2组分的数量。例如:a(5)=4,因为我们有1+1+1=1+2=2+1=3-Emeric Deutsch公司2004年3月10日

设A表示3X3矩阵[0,0,1;1,1,1;0,1,0]。a(n)对应于a^n中的(1,2)和(3,1)条目-保罗·巴里2004年10月15日

满足-k≤p(i)-i≤r,i=1..n-2,k=1,r=2的置换数-弗拉基米尔·波罗的海2005年1月17日

长度为n-3且没有三个连续0的二进制序列的数量。例如:a(7)=13,因为在长度为4的16个二进制序列中,只有0000、0001和1000有三个连续的0-Emeric Deutsch公司2006年4月27日

因此,互补序列A050231号(n枚硬币以三个头掷出)。a(n)=2^(n-3)-A050231号(n-3)-托比·戈特弗里德2010年11月21日

用Padovan序列卷积=三角形的行和A153462号. -加里·亚当森2008年12月27日

对于n>1:中三角形的行和157897年. -莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月25日

a(n+2)是任意3X3矩阵[1,1,1;0,0,1;1,0,0]或[1,1,0,0;1,0,1;1,0-0]或[1],1,1,0;0,1,0]的n次方的左上条目-R.J.马塔尔2014年2月3日

a(n-1)是3X3矩阵[0,0,1;1,1;0,1,0],[0,1,0;0,1,1;1,1,0],[0,0,1;0,0]或[0,1,0;0;0-R.J.马塔尔2014年2月3日

也行总和A082601号和的A082870号. -莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月13日

最低有效位见A021913号(a(n)模块2=A021913号(n) )-安德烈斯·西卡廷2016年4月4日

摩擦常数t的非负幂=A058265美元是t^n=a(n)*t^2+(a(n-1)+a(n-2))*t+a(n-1)*1,对于n>=0,a(-1)=1,a(-2)=-1。这是从t^3=t^2+t+1导出的重复周期得出的。请参阅中的示例A058265美元第一个非负幂。有关负功率,请参见A319200型. -沃尔夫迪特·朗2018年10月23日

“tribonacci数”这个词是由马克·范伯格(1963)创造的,他是宾夕法尼亚州萨斯奎哈纳镇初级中学9年级的一名14岁学生。他于1967年死于一场摩托车事故-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日

Andrews、Just和Simay(2021年、2022年)表示,有人建议,查尔斯·达尔文的《物种起源》中提到了该序列,认为该序列与大象种群的关系与斐波那契数与兔子种群的关系相同-N.J.A.斯隆2022年7月12日

参考文献

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贾诺斯·波达尼、阿尔达姆·库恩和安德烈斯·斯齐拉吉,<a href=“https://doi.org/10.1007/s10739-017-9488-5“>达尔文的大象种群增长有多快?</a>,《生物学史杂志》,第51卷,第2期(2018),第259-281页。

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<a href=“/index/Rec#order_03”>带常数的线性重复出现的索引条目,签名(1,1,1)。

配方奶粉

通用格式:x^2/(1-x-x^2-x^3)。

G.f.:x^2/(1-x/(1-x/(1+x^2/(1+x))))-迈克尔·索莫斯2012年5月12日

G.f.:求和{n>=0}x^(n+2)*[乘积{k=1..n}(k+k*x+x^2)/(1+k*x+k*x2)]=x^2+x^3+2*x^4+4*x^5+7*x^6+13*x^7+。。。可以用压缩和的方法证明-彼得·巴拉2015年1月4日

a(n+1)/a(n)->A058265美元.a(n-1)/a(n)->A192918号.

a(n)=M ^n*[1 0 0]中的中心项,其中M=3 X 3矩阵[0 1 0/0 0 1/1 1]。(M^n*[1 0 0]=[a(n-1)a(n)a(n+1)]。)a(n)/a(n-1)趋于摩擦学常数1.839286755=A058265美元,M的特征值和x^3-x^2-x-1=0的根-加里·亚当森2004年12月17日

a(n+2)=和{k=0..n}T(n-k,k),其中T(n,k)=三项系数(A027907号). -保罗·巴里2005年2月15日

A001590号(n) =a(n+1)-a(n);A001590号(n) n>1时=a(n-1)+a(n-2);a(n)=(A000213号(n+1)-A000213号(n) )/2;A000213号当n>0时,(n-1)=a(n+2)-a(n)-莱因哈德·祖姆凯勒2006年5月22日

设C=摩擦学常数,1.83928675。。。;则C^n=a(n)*(1/C)+a(n+1)*(1/1/C^2)+a(n+2)*(1/C+1/C^2+1/C^3)。例如:C^4=11.444…=2*(1/C)+4*(1/C+1/C^2)+7*(1/C+++1/C^2+1/C^3)-加里·亚当森2006年11月5日

a(n)=j*C^n+k*r1^n+L*r2^n,其中C是摩擦学常数(C=1.8392867552…),x^3-x^2-x-1=0的实根,r1和r2是其他两个根(它们是复杂的),r1=m+p*i和r2=m-p*i,其中i=sqrt(-1),m=(1-C)/2(m=-0.4196433776…)和p=((3*C-5)*(C+1)/4)^(1/2)=0.6062902 7292…,其中j=1/((C-m)^2+p^2)=0.1828035330…,k=a+b*i,L=a-b*iPhilippe LALLOUET(philip.LALLOUET(AT)wanadoo.fr),2007年6月23日

a(n+1)=3*c*((1/3)*(a+b+1))^n/(c^2-2*c+4)其中a=(19+3*sqrt(33))^(1/3),b=(19-3*sqert(33),^(1/3),c=(586+102*sqort(33)”^(1-3)。四舍五入到最接近的整数。-Al Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2009年2月2日

a(n)=圆形(3*((a+b+1)/3)^n/(a^2+b^2+4)),其中a=(19+3*sqrt(33))^(1/3),b=-安东·尼科诺夫

g.f.的另一种形式:f(z)=(z^2-z^3)/(1-2*z+z^4)。然后我们得到a(n)作为一个和:a(n-理查德·乔利特2010年2月22日

a(n)=Sum_{k=1..n}Sum_{i=k..n,mod(4*k-i,3)=0}二项式(k,(4*k-i)/3)*(-1)^((i-k)/3)*二项式(n-i+k-1,k-1))-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月18日

a(n)=2*a(n-2)+2*a(n-3)+a(n-4)-加里·德特利夫斯2010年9月13日

求和{k=0..2*n}a(k+b)*A027907号(n,k)=a(3*n+b),b>=0(参见A099464号,A074581美元).

a(n)=2*a(n-1)-a(n-4),其中a(0)=a(1)=0,a(2)=a(3)=1-文森佐·利班迪,2010年12月20日

起始(1、2、4、7…)是(1、1、1,0、0、0…)的INVERT变换-加里·亚当森2013年5月13日

G.f.:Q(0)*x^2/2,其中Q(k)=1+1/(1-x*(4*k+1+x+x^2)/(x*(4*k+3+x+x2)+1/Q(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月9日

a(n+2)=和{j=0..floor(n/2)}和{k=0..j}二项式(n-2*j,k)*二项式-托尼·福斯特三世,2017年9月8日

和{k=0..n}(n-k)*a(k)=(a(n+2)+a(n+1)-n-1)/2.请参见 A062544号. -王一晨(Yichen Wang)2020年8月20日

a(n)=A008937号(n-1)-A008937号(n-2)对于n>=2-彼得·卢施尼2020年8月20日

发件人王一晨(Yichen Wang),2020年8月27日:(开始)

和{k=0..n}a(k)=(a(n+2)+a(n)-1)/2.请参见 A008937号.

和{k=0..n}k*a(k)=((n-1)*a(n+2)-a(n+1)+n*a(n)+1)/2.请参见 A337282型.(结束)

对于n>1,a(n)=b(n),其中b(1)=1,然后b(n)=和{k=1..n-1}b(n-k)*A000931号(k+2)-康拉德2022年11月24日

猜想:对于正整数k和n以及列在A106282号. -彼得·巴拉2022年12月28日

求和{k=0..n}k^2*a(k)=((n^2-4*n+6)*a(n+1)-(2*n^2-2*n+5)*a(n)+(n^2-2*n+3)*a(n-1)-3)/2-Prabha Sivaramannair公司2024年2月10日

例子

G.f.=x ^2+x ^3+2*x ^4+4*x ^5+7*x ^6+13*x ^7+24*x ^8+44*x ^9+81*x ^10+。。。

MAPLE公司

a: =n->(<0|1|0>,<0|0|1>,<1|1|1>>^n)[1,3]:

seq(a(n),n=0..40)#阿洛伊斯·海因茨2016年12月19日

#第二个Maple项目:

A000073号:=proc(n)选项记住;如果n<=1,则0 elif n=2,则1 else进程名(n-1)+进程名(n-2)+进程名称(n-3);fi;结束#N.J.A.斯隆,2018年8月6日

数学

系数列表[级数[x^2/(1-x-x^2-x^3),{x,0,50}],x]

a[0]=a[1]=0;a[2]=1;a[n]:=a[n]=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3];数组[a,36,0](*罗伯特·威尔逊v2010年11月7日*)

线性递归[{1,1,1},{0,0,1},60](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年5月24日*)

a[n_]:=级数系数[如果[n<0,x/(1+x+x^2-x^3),x^2/(1-x-x^2-x ^3)],{x,0,Abs@n}](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)

表[-RootSum[-1-#-#^2+#^3&,-#^n-9#^(n+1)+4#^,(n+2)&]/22,{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月9日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=polceoff(如果(n<0,x/(1+x+x^2-x^3),x^2/(1-x-x^2-x^3))+x*O(x^abs(n)),abs(n))}/*迈克尔·索莫斯2007年9月3日*/

(PARI)x='x+O('x^99);concat([0,0],Vec(x^2/(1-x-x^2-x^3))\\阿尔图·阿尔坎2016年4月4日

(PARI)a(n)=([0,1,0;0,0,1;1,1]^n)[1,3]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年4月18日,简化为M.F.哈斯勒2018年4月18日

(极大值)a(n):=和(和(如果mod(4*k-i,3)>0,则0,否则为二项式(k,(4*k-i)/3)*(-1)^(i-k)/3)*binominal(n-i+k-1,k-1),i,k,n),k,1,n)\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月18日

(最大值)A000073号[0]:0$

A000073号[1]:0$

A000073号[2] :1个$

A000073号[n] :=A000073号[n-1]+A000073号[n-2]个+A000073号[n-3]$

名单(A000073号[n] ,n,0,40)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月1日*/

(哈斯克尔)

a000073 n=a000073_list!!n个

a000073_list=0:0:1:zipWith(+)a000073 _ list(tail)

(zipWith(+)a000073_list$tail a000073-list))

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月12日

(Python)

定义a(n,adict={0:0,1:0,2:1}):

如果根中有n:

返回根[n]

adict[n]=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)

返回根[n]#大卫·纳辛2012年3月7日

从functools导入缓存

@高速缓存

定义A000073号(n:int)->int:

如果n<=1:返回0

如果n==2:返回1

返回A000073号(n-1)+A000073号(n-2)+A000073号(n-3)#彼得·卢施尼2022年11月21日

(Magma)[n le 3选择Floor(n/3)else Self(n-1)+Self//文森佐·利班迪2016年1月29日

(间隙)a:=[0,0,1];;对于[4..40]中的n,做a[n]:=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3];od;a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月24日

交叉参考

囊性纤维变性。A000045号,A000078号,A000213号,A000931号,A001590号(第一个差异,也是a(n)+a(n+1)),A001644号,A008288年(tribonacci三角形),A008937号(部分金额),A021913号,A027024号,A027083号,A027084号,A046738号(皮萨诺时期),A050231号,A054668号,A062544号,A063401号,A077902号,A081172号,A089068号,A118390型,A145027型,A153462号,A230216型.

A057597号这个序列是向后运行的吗:A057597号(n) =a(1-n)。

阵列的第3行A048887号A092921号(k-广义斐波那契数)。

分区:A240844型17546年.

另请参阅A092836号(素数的子序列),A299399号=A092835号+1(素数指数)。

关键词

非n,容易的,美好的,改变

作者

N.J.A.斯隆

扩展

次要编辑人M.F.哈斯勒2018年4月18日

删除了某些危险或潜在危险的链接-N.J.A.斯隆2021年1月30日

状态

经核准的

讨论
2月12日周一 03:49
米歇尔·马库斯:3个DOI链接
04:06
米歇尔·马库斯:向Yichen Wang公式中添加了3个外部参照;也许以后这些公式可以转到外部参照??
A369497型 按行读取的表:第n行是唯一的原始毕达哥拉斯三元组(a,b,c),使得(a-b+c)/2=素数(n+2),并且其短腿“a”是偶数。
(历史;已发布版本)
第27版批准人N.J.A.斯隆2024年2月26日星期一10:39:19 EST
名称

阅读 通过 : n个 这个 独特的 原始的 毕达哥拉斯语 三倍的(,b条,c(c))这样的 那个(一个-b条+c(c))/2=首要的(n个+2) 谁的 短的 "" 即使.

数据

8、15、17、12、35、37、20、99、101、24、143、145、32、255、257、36、323、325、44、483、485、56、783、785、60、899、901、72、1295、1297、80、1599、1601、84、1763、1765、92、2115、2117、104、2703、2705、116、3363、3365、120、3599、3601、132、4355、4357、140、4899、4901、144、5183、5185、156、6083、6085

抵消

1,1

评论

参见参考练习3.5。

参考文献

米盖尔·安杰尔·佩雷斯·加西亚·奥尔特加(Miguel Al ngel Pérez García-Ortega)、何塞·曼努埃尔·桑切斯·穆尼奥斯(JoséManuel Sánchez Muñoz)和何塞·米盖尔·布兰科·卡萨多(JosöMiguel Blanco Casado),《特拉斯皮塔哥里斯自由报》(。

链接

米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加,<a href=“/A369497型/a369497.pdf“>Ejercicio 3.5版本。

配方奶粉

行n=(a,b,c)=(2*p-2,p^2-2*p,p^2-2*p+2),其中p=素数(n+2)=A000040型(n+2)。

例子

表格开始:

n=1:8、15、17;

n=2:12、35、37;

n=3:20、99、101;

n=4:24143145;

n=5:32255257;

交叉参考

囊性纤维变性。A037168号(短腿),A040976号(半径)。

关键词

分配

非n,容易的,标签,新的

作者

米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加2024年1月24日

状态

经核准的

讨论
1月24日星期三 22:32
乔恩·肖恩菲尔德:对不起,我不小心将此标记为“已审阅”。
22:35
乔恩·肖恩菲尔德:当我在Comments条目中看到“of the reference file”时,我以为它指的是References部分中的内容…
1月25日星期四 03:18
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:好的,没问题。
04:09
乔格·阿恩特:关于程序和素数限制的注释与其他序列的注释相同。
05:51
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:关于程序和素数限制的注释与其他序列的注释不同。
1月26日星期五 20时36分
凯文·莱德:在代码中,如果操作的核心是逐行生成,那么最好使用行函数来完成。如果需要,用户可以加入他们。
1月27日星期六 01:03
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:是的,我知道我可以在代码中逐行创建,但之前,对于其他序列,您建议我这样做。谢谢。
12:37
乔恩·肖恩菲尔德:我刚刚看到了1月25日的评论。我认为这里有一个误会。当Joerg在4:09写下“关于程序和对素数的限制与其他序列相同的评论”时,他的意思是他在一分钟前在A369493上对草稿所作的评论也适用于该草稿。
12点42分
乔恩·肖恩菲尔德我不知道Mathematica,但在这么短的程序中使用“Prime[I+2]”表达式五次似乎不是一个好方法-/
15:16
乔恩·肖恩菲尔德:谢谢!
15:47
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:谢谢你!
18:55
凯文·莱德:我认为这段代码将基本操作隐藏在许多连接和不必要的“下一个质数”p中。如果变量名“I”是文本的行号n,则最好将其命名为“n”。
1月28日周日 03:14
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:我已经将“I”更改为“n”。我认为代码是这样的。如果你认为可以改进,请告诉我如何改进或自己修改。谢谢。
20:29
凯文·莱德:我已经说过了。让一个函数返回一行表会更清楚。(单个T(n,k)项也可以。)要问的问题是,作为代码的用户,您是否发现当前的东西很容易在大小n中用于各种目的。
20时32分
凯文·莱德:(我最不清楚的是素数[n+3],直到我意识到它不是p表示要生成的行,而是p表示下一行。这应该是一个局限于所使用行的局部变量。无论局部变量在数学中是什么样子!)
1月29日周一 02:37
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:我认为代码足够简单,可以实现预期目标。我不明白为什么这个问题要考虑这么多。
2月1日星期四 02:26
凯文·莱德:如果你在编程方面,目标是干净、高效、习惯、易懂、可重用。有时,这些目标是相互矛盾的,但一件简单的事情可以而且应该简单明了。例如,在PARI中,单个行几乎直接来自定义,row(n)=my(p=素数(n+2));[2*p-2,p^2-2*p,p^2-2*p+2];
04:53
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:我不知道PARI是什么。而且,在Mathematica中,我不知道如何编写比我提交的代码更好的代码。但我认为,由于我的代码很短,没有必要再进一步考虑它,因为真正重要的不是代码,而是序列的构造。谢谢您。祝你一切顺利。
2月2日星期五 07:13
凯文·莱德:删除代码。我们邀请你带着更好的东西再次前往。对我来说,行是将下一个p存储到全局变量中时(假设我理解)。我认为这是在制造不必要的混乱。
13时46分
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:序列定义完美,发送的Mathematica代码运行良好。我完全不明白你为什么会有这么多问题。如果你删除这个序列,我想我不会再发送了。我有几个可能会很有趣,比你发表的要多得多。非常感谢你所做的一切。祝你一切顺利。
18:07
凯文·莱德:标准高于“它有效”。通常,在数学和编程方面,有些东西是正确的,但可以而且应该更好。
18时10分
凯文·莱德:关于序列,我没什么好说的。(除了它有助于从最好的、最有趣的或数学上最有意义的想法开始。)
A369493型 按行读取的表:第n行是唯一的原始毕达哥拉斯三元组(a,b,c),使得(a-b+c)/2=素数(n),短边“a”是奇数。
(历史;已发布版本)
第21版批准人N.J.A.斯隆2024年2月26日周一10:38:02 EST
名称

阅读 通过 : n个 这个 独特的 原始的 毕达哥拉斯语 三倍的(,b条,c(c))这样的 那个(一个-b条+c(c))/2=首要的(n个) 这个 短的 "" 古怪的.

数据

3, 4, 5, 5, 12, 13, 9, 40, 41, 13, 84, 85, 21, 220, 221, 25, 312, 313, 33, 544, 545, 37, 684, 685, 45, 1012, 1013, 57, 1624, 1625, 61, 1860, 1861, 73, 2664, 2665, 81, 3280, 3281, 85, 3612, 3613, 93, 4324, 4325, 105, 5512, 5513, 117, 6844, 6845, 121, 7320, 7321, 133, 8844, 8845, 141, 9940, 9941

抵消

1,1

评论

请参阅练习3.5。参考的。

参考文献

米盖尔·安杰尔·佩雷斯·加西亚·奥尔特加(Miguel Al ngel Pérez García-Ortega)、何塞·曼努埃尔·桑切斯·穆尼奥斯(JoséManuel Sánchez Muñoz)和何塞·米盖尔·布兰科·卡萨多(JosöMiguel Blanco Casado),《特拉斯皮塔哥里斯自由报》(。

链接

米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加,<a href=“/A369493型/a369493.pdf“>Ejercicio 3.5版本。

配方奶粉

行n=(a,b,c)=(2*p-1,2*p^2-2*p,2*p2-2*p+1),其中p=素数(n)=A000040型(n) ●●●●。

例子

表格开始:

n=1:3,4,5;

n=2:5、12、13;

n=3:9、40、41;

n=4:13、84、85;

n=5:21、220、221;

交叉参考

囊性纤维变性。A000040型,A076274号(短腿),A006093号(半径)。

关键词

分配

非n,容易的,标签,新的

作者

米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加2024年1月24日

状态

经核准的

讨论
1月24日星期三 15:17
斯特凡诺·斯佩齐亚:Ejercicio->运动
15:43
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:已更正。
1月25日星期四 04:08
乔格·阿恩特:程序让我头疼:把这个序列称为“primos”太糟糕了;当你五次调用Prime[i]时,你可能还想了解哪些变量是有用的。除此之外,对素数的限制有用吗?或者可以在任何地方用n替换素数(n)吗?
05:56
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:对素数的限制对于确保原始毕达哥拉斯三元组的唯一性是必要的。
1月26日星期五 20:35
凯文·莱德:在代码中,如果操作的核心是逐行生成,那么最好使用行函数来完成。如果需要,用户可以加入他们。
1月27日星期六 01:04
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:是的,我知道我可以在代码中逐行创建,但之前,对于其他序列,您建议我这样做。谢谢。
2月2日星期五 07:16
凯文·莱德:根据A369497中规定的原因删除代码。我们邀请你带着更好的东西再次前往。(这类事情就是为什么不能同时提交两个有相同问题的序列。是的,分配A编号,但给一个机会在一个地方解决问题。)
13:47
米格尔-安格尔·佩雷斯·加西亚-奥尔特加:序列定义完美,发送的Mathematica代码运行良好。我完全不明白你为什么会有这么多问题。如果你删除这个序列,我想我不会再发送了。我有几个可能会很有趣,比你发表的要多得多。非常感谢你所做的一切。祝你一切顺利。

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上次修改时间:美国东部标准时间2024年2月27日04:33。包含370362个序列。(在oeis4上运行。)