1，1

对于自然数，众所周知，四个正方形不能在AP中。布朗指出，模运算并非如此。模a素数的平方数没有限制：对于第n个素数伪平方A002223（n） ，0，1，2，…，素数（n+1）-1在AP mod中是平方A002223（n） 一。

从特拉维斯斯科特2022年5月28日：（开始）

考虑Z/pZ的R，N的二次剩余着色本质上是phi（p）项链弦上p串项链中的二元串。

我们对不同平方的ap进行了详尽的搜索，如原始Mathematica程序所述，它修复了R中的两个（比如r1，r2），并对一个等价的字符串x->Ax+b（A=r2-r1和b=r1）进行置换，以计算R在该字符串上的第一次运行。我们可以通过两种对称性来减少搜索空间：

一、 R*color（x）=color（x）和N*color（x）=color^-1（x）意味着每个Ax+b将每个循环k项AP映射到相同颜色的k-AP（如果a是残留物），或者映射到相反颜色的k-AP（如果a是非残留），我们不需要对两种颜色中的运行数进行计数，如果a是横向的R，N，则不需要计算两种颜色中的运行次数。

二。p==+-1（mod 4）诱导颜色（-x）=color^+-1（x）表示从0逆时针运行的每个k-AP映射到从0顺时针运行的相同或相反颜色的k-AP——我们也不需要计算同一条项链的两半中的两种颜色。（但是，请注意，对于+1，从0开始计数的第一个和最后一个k-ap在0和p/2处通过k-1和k重叠镜像。）

然后，为了证明a（n）对于Z/pZ*上的所有差异，并且从Z/pZ上的所有起点开始，计算R和n在区间[0，p/2]上的未着色上的运行次数就足够了，如果p==1（mod 4），则将第一个和最后一个计数加权为2k-1和2k。（结束）

n=1..100的n，a（n）表。

K、 S.布朗，算术级数中的平方（mod p）

Pablo Saez，X.Vidaux和M.Vsemirnov，模运算中Buchi问题的最优界《数论杂志》第149卷，2015年4月，第368-403页。

a（n）=最大值(A048280型（n） 你说，A002308号（n） ）。

考虑数模13，第6个素数。mod 13的平方是0,1,3,4,9,10,12。穷尽搜索发现4个数字1,9,17,25在AP中，并且也是13的不同平方。因此a（6）=4。还有两个相同长度的平方的AP:4,10,16,22和10,12,14,16。

从特拉维斯斯科特2022年5月28日：（开始）

以Z/13Z上相同的例子，但除了残余数<13/2（0,1,3,4）和13（+）的极性之外，我们发现调整为（2k-1）RRR N rrnnnn（2k）的字符串rrnrnn不再以任何颜色运行，因此a（6）=4。我们还可以使用该次运行的N个值来显示从每个残差开始的mod 13的最大AP：

2*5,6,7,8=10,12,1,3=10,12,14,16

5*5,6,7,8=12,4,9,1=12,17,22,27

6*5,6,7,8=4,10,3,9=4,10,16,22

7*5,6,7,8=9,3,10,4=9,16,23,30

8*5,6,7,8=1,9,4,12=1,9,17,25

11*5,6,7,8=3,1,12,10=3,14,25,36.（完）

t=表[p=素数[n]；sqs=排序[Mod[Range[0，（p-1）/2]^2，p]]；kMx=0；做[如果[i！=j，df=sqs[[j]]-sqs[[i]]；k=2；[q，s]，而[q+s][sq+s]；k--；如果[k>kMx，kMx=k]]，{i，长度[sqs]}，{j，长度[sqs]}]；kMx+1，{n，2，PrimePi[617]}]；加入[{2}，t]

（*备选方案*）

Qres1C=Compile[{x，{u Integer，1}，{q，{u Integer，0}}，模块[{s=0，z=0，i=2}，而[x[[i]]==x[[i-1]]，i++]；z=2i-1；s=i；而[i<q，While[i<q&&x[[i]]==x[[i-1]]，i++]；z=最大值[如果[i<q，1，2]（i-s），z]；s=i；i++]；z] ，CompilationTarget->“C”，RuntimeAttributes->{Listable}，并行化->True]；

QresIC=Compile[{x，_Integer，1}，{q，}，0}，模块[{s=2，z=2}，Do[If[x[[i]]==x[[i-1]]，s++，If[s>z，z=s]；s=1]，{i，2，q}]；如果[s>z，z=s]；z] ，CompilationTarget->“C”，RuntimeAttributes->{Listable}，并行化->True]；

{2} ~Join~表格[If[Mod[p，4]==1，Qres1C[#，（p+1）/2]，QresIC[#，（p-1）/2]]&@UNIZE[PowerMod[Range[（p-1）/2]，（p-1）/2，p]-1]，{p，基本@范围[26543]}]

(*特拉维斯斯科特2022年5月28日，根据评论，对称加速。*）

上下文顺序：A281579号 A194311号 A134403号*A262518号 A085578号 A350066型

相邻序列：A124879号 邮编：A124880 邮编：A124881*邮编：A124883 邮编：A124884 邮编：A124885

不

T、 D.不2006年11月13日

经核准的