A124882-OEIS公司

A124882号

模素数（n）算术级数中的最大不同平方数。

2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 9, 6, 7, 6, 9, 7, 7, 6, 10, 5, 7, 8, 6, 5, 6, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9, 7, 6, 7, 7, 7, 6, 7, 7, 13, 7, 6, 7, 9, 7, 10, 7, 9, 9, 7, 11, 9, 7, 8, 9, 8, 6, 8, 8, 9, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 13, 8, 12, 7, 9, 10, 8, 9, 9, 8, 8, 11, 13, 8, 8, 10, 8, 9, 8, 10, 10

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

对于自然数，众所周知，AP中不可能有四个正方形。Brown表明，模运算并非如此。AP模素数的平方数没有限制：对于第n素数伪平方A002223号（n），数字0,1,2，。..，素数（n+1）-1是AP mod中的正方形A002223号（n）。

发件人特拉维斯斯科特，2022年5月28日：（开始）

考虑到R，N对Z/pZ的二次剩余着色本质上是φ（p）项链弦中p串项链中的二进制串。

正如原始Mathematica程序所描述的那样，我们对不同正方形的AP进行了穷举搜索，修复了R中的两个（例如r1、r2），并排列了一个等价的字符串x->Ax+b（A=r2-r1和b=r1），以计算该字符串上R的第一次运行。我们可以通过两种对称性来减少搜索空间：

I.R*color（x）=color（x）和N*color（x）=color^-1。

二、。p==+-1（mod 4）诱导颜色（-x）=color^+-1（x）意味着从0逆时针运行的每个k-AP映射到从0顺时针运行的相同或相反颜色的k-AP——我们也不需要计算同一条项链两半的颜色。（然而，请注意，对于+1，从0开始在任一方向计算的第一个和最后一个k-AP与镜子在0和p/2处重叠k-1和k。）

然后，通过I和II，为了证明Z/pZ*上的所有差异和Z/pZ上的所有起点的a（n），只需计算R和n在区间[0，p/2）上的未赋值着色上的游程，如果p==1（mod 4），则将第一个和最后一个计数加权为2k-1和2k。（结束）

链接

n=1..100时的n，a（n）表。

K.S.Brown，算术级数中的平方（mod p）

巴勃罗·塞兹（Pablo Saez）、X·维多（X.Vidaux）和M·维塞米尔诺夫（M.Vsemirnov），模运算中Buchi问题的最优界《数论杂志》第149卷，2015年4月，第368-403页。

配方奶粉

a（n）=最大值(A048280号（n），A002308号（n））。

例子

考虑模13，即第六素数。模13的平方为0,1,3,4,9,10,12。穷尽搜索发现，四个数字1、9、17、25位于AP中，也是模13的不同平方。因此a（6）=4。还有另外两个相同长度的正方形AP：4、10、16、22和10、12、14、16。

发件人特拉维斯斯科特2022年5月28日：（开始）

以Z/13Z上的相同示例为例，但除了残基<13/2（0,1,3,4）和13（+）的极性之外没有其他信息，我们发现调整为（2k-1）RRR N RR NNNN（2k）的字符串RRNRRNN不再以任何颜色运行，因此a（6）=4。我们还可以使用该运行的N值来显示从每个残差开始的最大平方AP mod 13：

2 * 5,6,7,8 = 10,12, 1, 3 = 10,12,14,16

5 * 5,6,7,8 = 12, 4, 9, 1 = 12,17,22,27

6 * 5,6,7,8 = 4,10, 3, 9 = 4,10,16,22

7 * 5,6,7,8 = 9, 3,10, 4 = 9,16,23,30

8 * 5,6,7,8 = 1, 9, 4,12 = 1, 9,17,25

11 * 5,6,7,8 = 3, 1,12,10 = 3,14,25,36.（结束）

数学

t=表[p=素数[n]；sqs=排序[Mod[范围[0，（p-1）/2]^2，p]]；kMx=0；执行[If[i！=j，df=sqs[[j]]-sqs[i]]；k=2；而[MemberQ[sqs，Mod[sqs[[i]]+k*df，p]]，k++]；k——；如果[k>kMx，kMx=k]]，{i，长度[sqs]}，{j，长度[sqls]}]；kMx+1，{n，2，素数Pi[617]}]；加入[｛2｝，t]

（*备用程序*）

Qres1C=编译[{{x，整数，1}，{q，整数，0}}，模块[{s=0，z=0，i=2}，而[x[i]]==x[i-1]]，i++]；z=2i-1；s=i；当[i<q，而[i<q&&x[[i]]==x[[i-1]]时，i++]；z=最大值[如果[i<q，1，2]（i-s），z]；s=i；i++]；z]，编译目标->“C”，RuntimeAttributes->{Listable}，并行化->True]；

QresIC=编译[{{x，整数，1}，{q，整数，0}}，模块[{s=2，z=2}，Do[If[x[i]]==x[[i-1]]，s++，If[s>z，z=s]；s=1]，{i，2，q}]；如果[s>z，z=s]；z]，编译目标->“C”，RuntimeAttributes->{Listable}，并行化->True]；

{2} ~连接~表[If[Mod[p，4]==1，Qres1C[#，（p+1）/2]，QresIC[#，，（p-1）/2]]&@Unitize[PowerMod[Range[（p-1，Prime@范围[2, 6543]}]

(*特拉维斯斯科特2022年5月28日，按评论对称加速。 *)

交叉参考

上下文中的序列：A281579号 A194311号 A134403号*A262518型 A085578号 A350066型

相邻序列：A124879号 124880英镑 A124881号*A124883号 A124884号 A124885号

关键词

非n

作者

T.D.诺伊2006年11月13日

状态

经核准的