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(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A124882 算术级数模素数(n)中不同平方的最大数目。 2
2、2、2、3、3、3、3、3、4、5、5、4、4、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5、6、6、6、6、7、7、9、6、6、7、6、10、5、7、7、8、6、6、7、6、6、6、6、6、6、6、6、6、6、9、9、9、9、7、7、7、7、7、7、7、13、7、7、7、7、7、7、7、7、7、7、7、9、9、9、7、7、7、7、7、7、7、7、7、7、7、9、9、9、8、8、8、6、6、6、6、6、6 8,8,8,9,13,8,12,7,9,10,8,9,9,8,8,11,13,8,8,10,8,9,8,10 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,1

评论

对于自然数,众所周知,四个正方形不能在AP中。布朗指出,模运算并非如此。模a素数的平方数没有限制:对于第n个素数伪平方A002223(n) ,0,1,2,…,素数(n+1)-1在AP mod中是平方A002223(n) 一。

特拉维斯斯科特2022年5月28日:(开始)

考虑Z/pZ的R,N的二次剩余着色本质上是phi(p)项链弦上p串项链中的二元串。

我们对不同平方的ap进行了详尽的搜索,如原始Mathematica程序所述,它修复了R中的两个(比如r1,r2),并对一个等价的字符串x->Ax+b(A=r2-r1和b=r1)进行置换,以计算R在该字符串上的第一次运行。我们可以通过两种对称性来减少搜索空间:

一、 R*color(x)=color(x)和N*color(x)=color^-1(x)意味着每个Ax+b将每个循环k项AP映射到相同颜色的k-AP(如果a是残留物),或者映射到相反颜色的k-AP(如果a是非残留),我们不需要对两种颜色中的运行数进行计数,如果a是横向的R,N,则不需要计算两种颜色中的运行次数。

二。p==+-1(mod 4)诱导颜色(-x)=color^+-1(x)表示从0逆时针运行的每个k-AP映射到从0顺时针运行的相同或相反颜色的k-AP——我们也不需要计算同一条项链的两半中的两种颜色。(但是,请注意,对于+1,从0开始计数的第一个和最后一个k-ap在0和p/2处通过k-1和k重叠镜像。)

然后,为了证明a(n)对于Z/pZ*上的所有差异,并且从Z/pZ上的所有起点开始,计算R和n在区间[0,p/2]上的未着色上的运行次数就足够了,如果p==1(mod 4),则将第一个和最后一个计数加权为2k-1和2k。(结束)

链接

n=1..100的n,a(n)表。

K、 S.布朗,算术级数中的平方(mod p)

Pablo Saez,X.Vidaux和M.Vsemirnov,模运算中Buchi问题的最优界《数论杂志》第149卷,2015年4月,第368-403页。

公式

a(n)=最大值(A048280型(n) 你说,A002308号(n) )。

例子

考虑数模13,第6个素数。mod 13的平方是0,1,3,4,9,10,12。穷尽搜索发现4个数字1,9,17,25在AP中,并且也是13的不同平方。因此a(6)=4。还有两个相同长度的平方的AP:4,10,16,22和10,12,14,16。

特拉维斯斯科特2022年5月28日:(开始)

以Z/13Z上相同的例子,但除了残余数<13/2(0,1,3,4)和13(+)的极性之外,我们发现调整为(2k-1)RRR N rrnnnn(2k)的字符串rrnrnn不再以任何颜色运行,因此a(6)=4。我们还可以使用该次运行的N个值来显示从每个残差开始的mod 13的最大AP:

2*5,6,7,8=10,12,1,3=10,12,14,16

5*5,6,7,8=12,4,9,1=12,17,22,27

6*5,6,7,8=4,10,3,9=4,10,16,22

7*5,6,7,8=9,3,10,4=9,16,23,30

8*5,6,7,8=1,9,4,12=1,9,17,25

11*5,6,7,8=3,1,12,10=3,14,25,36.(完)

数学

t=表[p=素数[n];sqs=排序[Mod[Range[0,(p-1)/2]^2,p]];kMx=0;做[如果[i!=j,df=sqs[[j]]-sqs[[i]];k=2;[q,s],而[q+s][sq+s];k--;如果[k>kMx,kMx=k]],{i,长度[sqs]},{j,长度[sqs]}];kMx+1,{n,2,PrimePi[617]}];加入[{2},t]

(*备选方案*)

Qres1C=Compile[{x,{u Integer,1},{q,{u Integer,0}},模块[{s=0,z=0,i=2},而[x[[i]]==x[[i-1]],i++];z=2i-1;s=i;而[i<q,While[i<q&&x[[i]]==x[[i-1]],i++];z=最大值[如果[i<q,1,2](i-s),z];s=i;i++];z] ,CompilationTarget->“C”,RuntimeAttributes->{Listable},并行化->True];

QresIC=Compile[{x,_Integer,1},{q,},0},模块[{s=2,z=2},Do[If[x[[i]]==x[[i-1]],s++,If[s>z,z=s];s=1],{i,2,q}];如果[s>z,z=s];z] ,CompilationTarget->“C”,RuntimeAttributes->{Listable},并行化->True];

{2} ~Join~表格[If[Mod[p,4]==1,Qres1C[#,(p+1)/2],QresIC[#,(p-1)/2]]&@UNIZE[PowerMod[Range[(p-1)/2],(p-1)/2,p]-1],{p,基本@范围[26543]}]

(*特拉维斯斯科特2022年5月28日,根据评论,对称加速。*)

交叉引用

上下文顺序:A281579号 A194311号 A134403号*A262518号 A085578号 A350066型

相邻序列:A124879号 邮编:A124880 邮编:A124881*邮编:A124883 邮编:A124884 邮编:A124885

关键字

作者

T、 D.不2006年11月13日

状态

经核准的

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上次修改日期:2022年10月6日08:17。包含357263个序列。(运行在oeis4上。)