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欧拉-拉格朗日微分方程

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欧拉-拉格朗日微分方程是变分法它规定，如果J型由完整的 表单的

J=积分f（t，y，y^.）dt，
(1)

哪里

年^=（dy）/（dt），
(2)

然后J型有一个平稳值如果欧拉-拉格朗日微分方程

（部分）/（部分）-d/（dt）（（部分）
(3)

感到满意。

如果时间-导数 符号 年^。替换为空格-导数符号y_x（y_x）,等式变为

（partialf）/（partialy）-d/（dx）（partialf）/（partialy_x）=0。
(4)

欧拉-拉格朗日微分方程实现为欧拉方程[（f）,u个[x个],x个]在中沃尔夫拉姆语言包裹变量方法`.

在许多身体问题中，f_x（f_x）（该偏导数属于（f）关于x个)结果是0，在这种情况下是对Euler-Lagrange的操纵微分方程化简为极大简化和部分积分形式称为贝尔特拉米身份,

f-y_x（部分）/（部分_x）=C。
(5)

对于三个独立变量（Arfken 1985，pp.924-944），该方程概括为

（partialf）/（partialz）-部分/（partalx）（partialp）/。
(6)

中的问题变分法经常可以通过求解适当的欧拉-拉格朗日方程来求解。

要推导欧拉-拉格朗日微分方程，请检查

三角洲J=增量L（q，q^.，t）dt
(7)
=int（（partialL）/（partial）增量+（partialL）/（partialq）增量）dt
(8)
=整数[（部分L）/（部分q）增量+（部分L，
(9)

自从增量^=d（增量）/dt现在，通过部分使用

u个=（部分L）/（部分）dv
(10)
=d（增量）
(11)
杜=d/（dt）（（部分L）/（部分q^.））dt v=增量，
(12)

所以

int（partialL）/（partial q^.）（d（deltaq））/（dt）dt=int（partial L）/。
(13)

组合(◇) 和(◇) 然后给出

增量J=[（partialL）/（partial q^.）增量]_（t1）^（t2）+int_（t1）^。
(14)

但我们只是改变了路径，而不是终点，所以增量q（t1）=增量q（t2）=0和(14)成为

增量J=int_（t1）^（t2）（（部分L）/（部分q）-d/（dt）（部分L。
(15)

我们正在寻找平稳值这样的话增量J=0.如果有任何微小的变化，这些都必须消失三角洲，它来自(15),

（部分L）/（部分q）-d/（dt）。
(16)

这是欧拉-拉格朗日微分方程。

中的变化J型也可以根据参数编写卡帕作为

三角洲J=整数[f（x，y+kappav，y^.+kappaw^.）-f（x，y，y^.）]dt
(17)
=kappaI_1+1/2卡帕^2I_2+1/6卡帕^3I_3+1/（24）卡帕^4I_4+。。。，
(18)

哪里

v（v）=德尔泰
(19)
v^。=德尔泰^。
(20)

第一种、第二种等等，变化如下

I_1级=int（vf_y+v^.f（y^.））dt
(21)
I_2级=int（v^2f_（yy）+2vv^.f_（yy^.）+v^.^2f_（y^.y^））dt
(22)
I_3类=int（v^3f_（yyy）+3v^2v^.f_（Yyyy^.）+3vv^.^2f_（nyy^.y^
(23)
I_4类=int（v^4f_（yyyy）+4v^3v^.f_（Yyyyy^.）+6v^2v^.^2f_（y yy^.y^。
(24)

第二种变体可以使用

d/（dt）（v^2lambda）=v^2lambda^+2vv^.λ，
(25)

所以

I_2+[v^2lambda]_2^1=int_1^2[v^2（f_（yy）+lambda^.）+2vv^.（f_（yy^.）+lambda）+v^.^2f_（y ^.y ^.）]日期。
(26)

但是

[v^2lambda]_2^1=0。
(27)

现在选择λ这样的话

f（yy^.y^.）（f（yy）+λ
(28)

和z（z）这样的话

f（yy^.）+λ=-（f（yy ^.））/z（dz）/（dt）
(29)

以便z（z）满足

f_（y^.y^.）z^..+f^._。
(30)

接下来是这样的

I_2级=积分f（y^.y^.）（v^.+（f（yy^
(31)
=积分f（y^.y^.）（v^.-v/z（dz）/（dt））^2dt。
(32)

另请参见

贝尔特拉米身份,Brachistochrone问题,变分法,欧拉-拉格朗日导数,功能导数,变更

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阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，1985年。福赛斯，A.R.公司。微积分变更。纽约：多佛，第17-20页和第29页，1960年。戈尔茨坦，H。经典力学，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第44页，1980年。兰佐斯，C、。这个力学变分原理，第4版。纽约：多佛，第53页和611986年。Morse，P.M.和Feshbach，H.“变奏曲积分和欧拉方程。“§3.1方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第276-280页，1953

参考Wolfram | Alpha

欧拉-拉格朗日差分方程式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《欧拉-拉格朗日微分方程》数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Euler-LagrangeDifferentialEquation.html

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