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1, 3, 5, 4, 9, 11, 9, 5, 12, 12, 7, 23, 8, 20, 29, 6, 33, 35, 20, 39, 41, 28, 12, 36, 15, 51, 53, 36, 44, 24, 20, 7, 65, 36, 69, 60, 42, 15, 20, 52, 81, 83, 9, 60, 89, 60, 40, 95, 12, 99, 84, 66, 105, 28, 18, 37, 113, 30, 92, 119, 81, 36, 25, 8, 36, 131, 22, 135, 20, 30, 47, 60, 48, 116, 132, 100, 51, 155
评论
“内向外”排列(与蒙琴洗牌密切相关,请参见A019567号)发送(t1,t2,…,t{2n+1})到。对于n=0,1,2,3,这是(1),(2,3,1),(3,4,2,5,1)和(4,5,3,6,2,7,1)。
配方奶粉
置换将i(1<=i<=2n+1)发送到p(i)=n+1+f(i),其中f(i)=(-1)^i*上限((i-1)/2)。
a(n)=最小k>0,使得p^k()=p^0()。
a(n)等于作用于(Z/(4n+3)Z)中非零元素集的乘b2的阶数,模等于+-1的作用。准确地说,确定i=1,2,。。。,2*n+1,奇代表J=1,3,。。。,这个集合的4*n+1,通过映射J=2*i-1。不难证明,如果i=(J+1)/2是偶数,那么J值集上的诱导置换是由J->(4*n+3+J)/2在整数表示上给出的;如果i=。由此可见,这导致了置换J->+-J/2(mod 4*n+3),从中我们立即看到顺序如前所述。
注意,作用于(Z/(4n+3)Z)/{+-1}的2的阶数与作用于(Z/(4n+3)Z)的2或-2的阶数相同,这取决于其中哪一个是模4n+3的二次残差。因此,计算a(n)的等效(通常更容易)方法是:作用于(Z/(4n+3)Z)上的-2*(-1)^n的顺序。
除此之外,上下限log_2(n)+2<a(n)<=2*n+1紧随其后。
(结束)
例子
对于n=2:迭代长度为2n+1=5的字符串的“内向外”置换:
12345
34251
25413
41532
53124
12345
...
其阶数为a(2)=5。
MAPLE公司
f: =程序(n)
ilcm(op(映射(nops,转换(映射(op,[n+1],seq([n+1+i,n+1-i],i=1..n)),disjcyc)))
结束进程:
数学
a[n_]:=乘数阶[-2(-1)^n,4n+3];
黄体脂酮素
(PARI)
跟随(s,f)={my(t=f(s),k=1);while(t>s,k++;t=f(t));if(s==t,k,0)}
CyclePoly(n,x)={my(p=0);对于(i=1,2*n+1,my(l=跟随(i,j->n+1+(-1)^j*ceil((j-1)/2));如果(l,p+=x^l));p}
a(n)={my(p=CyclePoly(n,x),m=1);对于(i=1,极度(p),如果(polceoff(p,i),m=lcm(m,i));m}\\安德鲁·霍罗伊德2017年11月8日
(PARI)a(n)=znorder(Mod(如果(n%2,-2),4*n+3))\\参见Wetherell公式;查尔斯·格里特豪斯四世2017年11月15日
(岩浆)
f: =func<n|订单(Sym(2*n+1)![n+1+(-1)^i*天花板((i-1)/2):i in[1..2*n+1]])>;
(岩浆)
[顺序(整数(4*n+3)!-2*(-1)^n):[0..100]]中的n;
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