A260116-编号：A260116-OEIS

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A260147型

G.f.：（1/2）*Sum_{n=-oo..+oo}x^n*（1+x^n）^n，一个偶数函数。

+10
15

1, 2, 1, 5, 1, 6, 8, 8, 1, 25, 12, 12, 29, 14, 36, 77, 1, 18, 151, 20, 71, 135, 166, 24, 121, 236, 287, 307, 30, 30, 1141, 32, 1, 727, 681, 1247, 314, 38, 970, 1652, 1821, 42, 2633, 44, 331, 6590, 1772, 48, 497, 3053, 7146, 6801, 1717, 54, 4051, 7427, 8009, 12389, 3655, 60, 17842, 62, 4496, 42841, 1, 15731, 6470, 68, 19449, 34754, 65781

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

与奇怪的身份相比：

（1）求和{n=-oo..+oo}x^n*（1-x^n）^n=0。

（2） Sum_｛n=-oo..+oo｝（-x）^n*（1+x^n）^n=0。

给定G（x，q）=Sum_{n=-oo..+oo}（1+q^n）^n*q^n*x^n，则

[x^0]G（x，q）^2=θ_3（q）=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q^25+。。。

链接

保罗·D·汉纳，n=0..2050时的n，a（n）表

配方奶粉

g.f.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足：

（1） A（x^2）=（1/2）*Sum_｛n=-oo..+oo｝x^n*（1+x^n）^n。

（2） A（x^2）=（1/2）*Sum_{n=-oo..+oo}（-x）^n*（1-x^n）^n。

（3） A（x^2）=（1/2）*和{n=-oo..+oo}x^（n^2-n）/（1+x^n）^n。

（4） A（x^2）=（1/2）*和{n=-oo..+oo}x^（n^2-n）/（1-x^n）^n。

（5） A（x）=和{n=-oo..+oo}x^n*（1+x^n）^（2*n）。

（6） A（x）=和{n=-oo..+oo}x^n*（1-x^n）^（2*n）。

（7） A（x）=和{n=-oo..+oo}x^（2*n^2-n）/（1-x^n）^（2*n）。

（8） A（x）=和{n=-oo..+oo}x^（2*n^2-n）/（1+x^n）^（2*n）。

对于n>0，a（2^n）=1（猜想）。

素数p>3的a（p）=p+1（猜想）。

发件人彼得·巴拉，2021年1月23日：（开始）

以下是推测：

A（x^2）=和{n=-oo..+oo}x^（2*n+1）*（1+x^。

等价地：A（x^2）=Sum_{n=-oo..+oo}x^（4*n^2+2*n）/（1+x^。

a（2*n+1）=[x^（2*n+1）]求和{n=-oo..+oo}x^

更一般地说，对于k=1,2,3，。。。，a（（2^k）*（2*n+1））=[x^（2*n+1）]和{n=-oo..+oo}x^。

a（2*n+1）=[x^（2*n+1）]求和{n=-oo..+oo}（-1）^（n+1）*x^n*（1+x^n）^。

更一般地说，对于k=1,2,3，。。。，

a（（2^k）*（2*n+1））=[x^（2*n+1）]和{n=-oo..+oo}（-1）^（n+1）*x^n*（1+x^n）^。

a（4*n+2）=[x^（4*n+2）]求和{n=-oo..+oo}（-1）^n*x^n*（1+x^n）^。

a（n）=[x^（2*n）]求和{n=-oo..+oo}（-1）^n*x^。

对于k=1,2,3，。。。，

a（（2^k）*（2*n+1））=[x^（2*n+1）]和{n=-oo..+oo}x^。

（结束）

例子

通用公式：A（x）=1+2*x^2+x^4+5*x^6+x^8+6*x^10+8*x^12+8*x^14+x^16+25*x^18+12*x^20+。。。

其中2*A（x）=1+P（x）+N（x）

P（x）=x*（1+x）+x^2*（1+x^2）^2+x^3*（1+4x^3）^3+x^4*（1+6x^4）^4+x^5*（1+5）^5+。。。

N（x）=1/（1+x）+x^2/（1+x^2）^2+x^6/（1+/x^3）^3+x^12/（1+x^4）^4+x^20/（1+x^5）^5+。。。

明确地，

P（x）=x+2*x^2+x^3+3*x^4+x^5+5*x^6+x^7+5*x*^8+4*x^9+6*x^10+x^11+14*x^12+x^13+8*x^14+11*x^15+13*x|16+x^17+25*x^18+x^19+22*x^20+22*x ^21+12*x*x^22+x^23+61*x ^24+6*x ^25++A217668型（n） *x^n+。。。

N（x）=1-x+2*x ^2-x ^3-x ^4-x ^5+5*x ^6-x ^7-3*x ^8-4*x ^9+6*x ^10-x ^11+2*x^12-x ^13+8*x ^14-11*x ^15-11*x^16-x ^17+25*x ^18-x ^19+2*x ^20-22*x ^21+12*x ^22-x ^23-3*x^24-6*x+A260148型（n） *x^n+。。。

数学

术语=100；最大值=2个术语；1/2和[x^n*（1+x^n）^n，{n，-max，max}]+O[x]^max//系数列表[#，x^2]&(*Jean-François Alcover公司，2017年5月16日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=-2*n-2，2*n+2，x^k*（1+x^k）^k/2+O（x^（2*n=2））；polcoff（a，2*n）}

对于（n=0，60，print1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=-2*n-2，2*n+2，x^（k^2-k）/（1+x^k）^k/2+O（x^

对于（n=0，60，打印1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=-sqrint（n）-1，n+1，x^k*（（1+x^k）^（2*k）+（1-x^k）^（2*k））/2+O（x^（n+1）））；极系数（a，n）}

对于（n=0，60，打印1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=-n-1，n+1，x^k*（1+x^k）^（2*k）+O（x^（n+1））；波尔科夫（a，n）}

对于（n=0，60，打印1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=-n-1，n+1，x^（2*k^2-k）/（1-x^k+O（x^）（n+1）））；polcoeff（a，n）}

对于（n=0，60，打印1（a（n），“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A260116型,A260148型,A217668型,A260180型,A260361型.

囊性纤维变性。A261605型,A363558型,A363559型,A363569型,A363561型.

关键词

非n,容易的

作者

保罗·D·汉纳2015年7月17日

状态

经核准的

A260180型

通用公式：和{n>=0}x^n*（1-x^n）^n。

+10
4

1, 1, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -3, 4, -4, 1, 0, 1, -6, 11, -11, 1, 7, 1, -18, 22, -10, 1, -3, 6, -12, 37, -48, 1, 45, 1, -71, 56, -16, 36, -41, 1, -18, 79, -69, 1, 51, 1, -186, 232, -22, 1, -179, 8, 186, 137, -311, 1, 1, 331, -364, 172, -28, 1, -51, 1, -30, 295, -599, 716, -263, 1, -713, 254, 1177, 1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0, 9

比较一下这个奇怪的恒等式：Sum_{n=-oo..+oo}x^n*（1-x^n）^n=0。

链接

保罗·D·汉纳，n=0..2050时的n，a（n）表

配方奶粉

通用公式：和{n>=1}（-1）^（n-1）*x^（n^2-n）/（1-x^n）^n。

通用公式：和{n>=1}-x^（-n）/（1-x^。

例子

通用公式：A（x）=1+x+x^3-x^4+x^5-x^6+x^7-3*x^8+4*x^9-4*x^10+。。。

哪里

A（x）=1+x*（1-x）+x^2*（1-x^2）^2+x^3*（1-x^3）^3+x^4*（1-x2^4）^4+x^5*（1-x-^5）^5+。。。

也，

A（x）=1/（1-x）-x^2/（1-x^2）^2+x^6/（1-x^3）^3-x^12/（1-x*4）^4+x^20/（1-x ^5）^5+。。。

数学

术语=100；1+总和[x^n*（1-x^n）^n，｛n，1，terms｝]+O[x]^ terms//系数列表[#，x]&(*Jean-François Alcover公司2017年5月16日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=0，n+1，x^k*（1-x^k）^k+O（x^（n+2）））；极系数（a，n）}

对于（n=0，80，打印1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=1，n+1，-1/x^k/（1-1/x^k+O（x^（n+2

对于（n=0，80，打印1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=1，平方（n）+1，（-1）^（k-1）*x^（k^2-k）/（1-x^k）^k+O（x^

对于（n=0，80，打印1（a（n），“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A260116型,A217668型,A260147型.

关键词

签名

作者

保罗·D·汉纳2015年7月17日

状态

经核准的

A290003型

通用公式：A（x）=和{n=-oo..+oo}（x-x^n）^n。

+10
三

1, -1, 1, -2, 3, -3, 1, 1, 1, -7, 10, -6, 1, 0, 1, -8, 23, -25, 1, 17, 1, -32, 36, -12, 1, -21, 26, -14, 55, -92, 1, 93, 1, -129, 78, -18, 108, -121, 1, -20, 105, -49, 1, 19, 1, -298, 430, -24, 1, -423, 50, 424, 171, -469, 1, -217, 661, -450, 210, -30, 1, -203, 1, -32, 591, -897, 1288, -881, 1, -987, 300, 2407, 1, -2804, 1, -38, 2626, -1350, 1387, -2380, 1, 837, 487, -42, 1, -2855, 3741, -44, 465, -3301, 1, -326, 4291, -2324, 528, -48, 5815, -12713, 1, 6957, 1422, 4074, 1, -10371, 1, -8451, 20322, -54, 1, -15589, 1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,4

将g.f.与：Sum_{n=-oo..+oo}（x-x^（n+1））^n=0进行比较。

链接

保罗·D·汉纳，n=0..2050时的n，a（n）表

配方奶粉

一般公式：1+和{n>=1}x ^n*（1-x^（n-1））^n+（-x）^（n^2）/（1-xqu（n+1））^n。

素数p>3的a（p+1）=1（猜想）。

例子

通用公式：A（x）=1-x+x^2-2*x^3+3*x^4-3*x^5+x^6+x^7+x^8-7*x^9+10*x^10-6*x^11+x^12+x^14-8*x^15+23*x*^16-25*x^17+x^18+17*x*x^19+x^20-32*x^21+36*x^22-12*x^23+x^24-21*x^25+26*x ^26-14*x^27+55*x^28-92*x^29+x^30+。。。

其中A（x）=1+P（x）+N（x）

P（x）=（x-x）+（x-x^2）^2+（x-x ^3）^3+（x-x-^4）^4+（x-x2^5）^5+（x-x1^6）^6+（x-x^7）^7+…+（x-x^n）^n+。。。

N（x）=-x/（1-x^2）+x^4/（1-x^3）^2-x^9/（1-x^4）^3+x^16/（1-x_^5）^4-x^25/（1-x ^6）^5+…+（-x）^（n^2）/（1-x^（n+1））^n+。。。

明确地，

P（x）=x ^2-x ^3+2*x ^4-2*x ^5+x ^6+x ^8-5*x ^9+7*x ^10-5*x^11+x ^12+x ^14-7*x×^15+17*x ^16-18*x ^17+x ^18+12*x ^19+x ^20-25*x ^21+29*x ^22-11*x ^23+x ^24-12*x*x ^25+16*x ^26-13*x ^27+46*x ^28-70*x ^29+x ^30+。。。

N（x）=-x-x ^3+x ^4-x ^5+x ^7-2*x ^9+3*x ^10-x ^11-x ^15+6*x ^16-7*x ^17+5*x ^19-7*x^21+7*x。。。

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=和（k=-n，n，（x-x^k）^k+x*O（x^n））；波尔科夫（a，n）}

对于（n=0100，打印1（a（n），“，”）

（PARI）{a（n）=局部（a=1）；a=1+和（k=1，n，x^k*（1-x^（k-1））^k+（-x）^（k^2）/（1-xqu（k+1））^k+x*O（x^n））；波尔科夫（a，n）}

对于（n=0.500，打印1（a（n），“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A260116型,A260147型.

关键词

签名

作者

保罗·D·汉纳2017年9月3日

状态

经核准的

A354646飞机

G.f.A（x）满足：1=Sum_{n=-oo..+oo}（x+x^n）^n*（-2*A（x））^（n*（n-1）/2）。

+10
1

1, -1, -4, 44, 316, -22695, -769536, 156937802, 30299780744, -18827264809946, -17187430890378027, 37887447329364481223, 148620374587239353630657, -1249806569497062808351943525, -20168103472406206381500342351035, 666759209181977763318463790517458280

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

链接

保罗·D·汉纳，n=0..100时的n，a（n）表

配方奶粉

G.f.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足：

（1） 1=Sum_{n=-oo..+oo}x^n*（1+x^（n-1））^n*。

（2） 1=和{n=-oo..+oo}x^（n^2）/（1+x^，n+1））^n*（-2*A（x））^（n*（n+1）/2）。

例子

通用公式：A（x）=1-x-4*x^2+44*x*^3+316*x^4-22695*x^5-769536*x^6+156937802*x^7+30299780744*x^8-18827264809946*x^9-17187430890378027*x^10+--。。。

使得

B（x）=和{n>=1}x^n*（1+x^（n-1））^n*

和

B（x）=和{n>=1}x^（n^2）/（1+x^，

哪里

B（x）=2*x-2*x^2-10*x^3+98*x^4+618*x^5-45552*x^6-1538490*x^7+313926892*x^8+60600533658*x^9-37654860921240*x^10-34374918573912040*x^11++。。。

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=my（a=[1]）；对于（i=1，n，a=concat（a，0）；

A[#A]=极系数（sum（m=-#A，#A，（x+x^m）^m*（-2*Ser（A））^（m*（m-1）/2）），#A）/2）；H=A；答[n+1]}

对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）

交叉参考

囊性纤维变性。A260116型.

关键词

签名

作者

保罗·D·汉纳，2022年6月7日

状态

经核准的

第页1

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