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修订历史记录A361826飞机

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A361826飞机
a（n）等于方程n*cos（x）=sqrt（x）的根数。
(历史;已发布版本)
#49通过阿洛伊斯·海因茨2023年5月1日星期一18:06:26 EDT
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经核准的

#48通过阿洛伊斯·海因茨2023年5月1日星期一18:05:58 EDT
评论

公式a（n）=2*floor（n^2/（2*Pi））+1是正确的，因为曲线f（x）=n*cos（x）和g（x）=sqrt（x）不能有切点。函数g（x）=sqrt（x）正在增加。对于n=1，没有切点。对于n>1，在接触点必须满足以下条件：f（x）=g（x），并且它们的导数必须相等。因此x^2-n^2*x+1/4=0，因此x（1）=（n^2-sqrt（n^4-1））/2>0，x（2）=。对于n>1，我们在x>0上有两个切点。差值x（2）-x（1）=sqrt（n^4-1）>=sqrt（15）>Pi。因此x（1）、x（2）属于不同的余弦“波”，但这是不可能的。因此，没有切点-亚历山大·多马申科2023年4月20日

#47通过阿洛伊斯·海因茨2023年5月1日星期一18:05:43 EDT
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#46通过乔恩·肖恩菲尔德2023年4月27日星期四21:01:33 EDT
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4月27日星期四
22:26
乔恩·肖恩菲尔德：我不明白这里有什么。（我向所有人道歉，但我认为，自从我上次研究这种问题以来，已经有很长很长时间了……还有很长一段时间，我都没有失眠的感觉。）为了便于讨论，假设我们允许n的非整数值。然后，当我允许n的值略大于5时，我找到了一个切点：它位于n=5.0122638387934…，x=25.112833720377659……也就是说，如果我使用这对值（n，x），我发现函数f（x）=n*cos（x）和g（x）=sqrt（x）在f（x=0.0997750935843…：有一个切点。。。。
22:26
乔恩·肖恩菲尔德: ... 但是如果我应用“因此x^2-n^2*x+1/4=0，因此x（1）=（n^2-sqrt（n^4-1））/2>0，x（2）=。。。“x（2）”解似乎位于我发现的切点。。。但“x（1）”解并不是在切点附近；它甚至不在两条曲线的交点附近。
22:28
乔恩·肖恩菲尔德：所以虽然我同意“x（2）”和“x（1）”点相距很远。。。我认为“x（1）”点实际上并不重要。那么，如果我们只考虑n的整数值，那又有什么关系呢？
22:29
乔恩·肖恩菲尔德：（我肯定我错过了/忘记了很久很久以前学过的东西。很抱歉。但我看不出“x（1）”解决方案与这个问题有什么关系。）
4月28日星期五
01:51
亚历山大·多马申科：同事们，在讨论这个问题的解决方案时(http://www.diofant.ru/problem/4277/)，N.Avilov，T.Silver指出，x（1）是一个无关根，因为sin（x（1））>0，这与相切条件相矛盾。因此，x（2）不能是自然n的切点这一说法是错误的。在我看来，我们需要寻找另一种证明方式！
21:38
乔恩·肖恩菲尔德：如果对推测公式存在反例，它是否可能发生在n的某个（整数）值处，此时n^2/（2*Pi）的小数部分达到新的最大值？如果是这样，那么要检查的n值的序列将从1、2、5、17、84、226、443、878、2831、16125、29570、30978、31286、37562、276049、321493、375654、509407、722049、1306384、1732907、2181657、33369、7380335、7456842。。。
21:39
乔恩·肖恩菲尔德：（'sorry，“n的值”->“n的数值”）
21:57
乔恩·肖恩菲尔德：（下一个要尝试的n是73277089。）
23:12
乔恩·肖恩菲尔德：（然后是96610032、135245436、462740046，也许还有一些<10^9。）
4月29日星期六
12:54
塔尔蒙银：对于每个正整数k，设x_k是方程-tg（x）=1/（2*x）的最大根，使得x_k<2*Pi*k，并设n_k=sqrt（x_k）/cos（x_k）。对于n=n_k，y=n*cos（x）和y=sqrt（x）的图有一个“额外”切点（x=x_k）。对于n_k<n<sqrt（2*Pi*k），它们将有两个“额外”交点。因此，问题归结为：任何半闭段[n_k，sqrt（2*Pi*k））都可以包含整数吗？或者：是否可能有n=楼层（sqrt（2*Pi*k））>=n_k？对于这样的n，公式将不正确。我计算了大约k=7000000，但没有发现任何这样的n。分段随着k的增加而逐渐减少，但当然，这并不能证明什么。
12:58
塔尔蒙银：方程式为：-tan（x）=1/（2*x）。
17:53
乔恩·肖恩菲尔德：谢谢！
17:55
乔恩·肖恩菲尔德：“对于评论部分的第二段应该怎么做，有什么想法吗？
4月30日周日
03:39
亚历山大·多马申科：我同意删除包含错误的评论。他尽了自己的一份力量，提请同事们注意这个问题。
2001年5月1日星期一
18:05
阿洛伊斯·海因茨：好的，注释将被删除。。。
#45通过乔恩·肖恩菲尔德美国东部时间2023年4月27日星期四21:01:14
评论

公式a（n）=2*楼层（n^2/（2*Pi））+1是正确的，因为这个 曲线 f（x）=n*cos（x）和g（x）=sqrt（x）绘图 不能有切点。函数g（x）=sqrt（x）正在增加。对于n=1，没有切点。对于n>1，在接触点必须满足以下条件：f（x）=g（x），并且它们的导数必须相等。因此x^2-n^2*x+1/4=0，因此x（1）=（n^2-sqrt（n^4-1））/2>0，x（2）=（n^2+sqrt（n^4-1））/2>0。对于n>1，我们在x>0上有两个切点。差异 这个 差异 x（2）-x（1）=平方（n^4-1）> =平方（15）>Pi。因此x（1）、x（2）属于不同的余弦“波”，但这是不可能的。因此，没有切点-亚历山大·多马申科2023年4月20日

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#44通过亚历山大·多马申科2023年4月26日星期三02:50:22 EDT
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讨论
4月26日星期三
05:49
塔尔蒙银“该段的作者声称，他只考虑n的整数值，但从他的文本中看不到这一点。他还将自己限制在相切的情况下给出一个“额外”点，但忽略了两个“额外的”交点的情况。”
#43通过安德烈·扎博洛茨基2023年4月25日星期二11:40:06 EDT
评论

公式a（n）=2*floor（n^2/（2*Pi））+1是正确的，因为f（x）=n*cos（x）和g（x）=sqrt（x）绘图不能有切点。函数g（x）=sqrt（x）正在增加。对于n=1，没有触摸 切线 点。对于n>1，在接触点必须满足以下条件：f（x）=g（x），并且它们的导数必须相等。因此x^2-n^2*x+1/4=0，因此x（1）=（n^2-sqrt（n^4-1））/2>0，x（2）=（n ^2+sqrt（n^4-1））/2>0。我们有两个触摸 切线 n>1时x>0上的点? . 差值x（2）-x（1）=sqrt（n^4-1）>=sqert（15）>Pi。因此x（1）、x（2）属于不同的余弦“波”，但这是不可能的。因此，没有触摸 切线 点-亚历山大·多马申科2023年4月20日

讨论
4月25日星期二
14:49
塔尔蒙银：证据存在根本缺陷。实际上，对于n的一些实值，公式a（n）=2*floor（n^2/（2*Pi））+1不起作用。考虑这个值n=sqrt（2*Pi*k），其中k是一个正整数。公式得出a（n）=2k+1，这是绝对正确的。曲线y=n*cos（x）和y=sqrt（x）的图的最后一个交点将恰好位于余弦的第k个顶点，即x=2*Pi*k，前一个交点将稍早一些，在余弦图的相同“增加一半”上。在这两个交点之间，余弦的弧线将位于抛物线的弧线之上。如果您不断减少n，那么公式右侧的数量将立即减少2，但最后两个交点之间的距离只会稍微近一点。因此，交点总数将比公式中给出的数量多2个。因此，直到这两个点合并，变成一个“额外”的点——两个图的接触点，之后，随着n的进一步减少，图将和平地发散，公式将是正确的。该段的作者声称，他只考虑n的整数值，但从他的文本中看不到这一点。他还将自己限制在切线给出一个“额外”点的情况下，但忽略了两个“额外的”交点的情况。
4月26日星期三
02:49
亚历山大·多马申科：我同意A.Zabolotsky的编辑意见。在他的文本中，塔尔蒙·西尔弗考虑了公式a（n），其中n=sqrt（2*Pi*k），其中k是一个正整数，即n不是自然数。这不适用于OEIS，因为序列成员数必须是自然的。
#42通过乔恩·肖恩菲尔德2023年4月23日星期日13:17:04 EDT
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4月23日周日
13:19
乔恩·肖恩菲尔德：我看到的下一个遗留问题是：“对于n>1，我们在x>0上有两个接触点？”为什么这是一个问题？我们是否有两个这样的点还不确定吗？
#41通过亚历山大·多马申科2023年4月23日星期日04:56:07 EDT
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4月23日周日
05:13
亚历山大·多马申科：对不起，即使你的名字是由翻译以不同的方式给出的。
05:14
米歇尔·马库斯：接触点”。它是一个交点，还是一个切点？？？？
05:48
亚历山大·多马申科：它是一个专门的切点吗。
13:17
乔恩·肖恩菲尔德：好的，谢谢。这是否意味着“评论”部分中条目中的每个“接触点”实例都可以替换为“切线点”？如果答案是肯定的，那么请做出这些更改。如果答案是否定的（对于“接触点”的任何或所有实例），请用一些适当的术语替换每个实例。
#40通过乔恩·舍恩菲尔德2023年4月22日星期六13:00:31 EDT
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讨论
4月23日周日
04:55
亚历山大·多马申科约翰，这些是技术翻译错误。如果我陈述最后一句话：“因此，对于n>1，没有接触点。”那么我们将得到这样的翻译：“所以，对于n>1，没有触摸点。”

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上次修改时间：美国东部夏令时2024年9月22日18:03。包含376126个序列。（在oeis4上运行。）