A343606-OEIS公司

A343606型

第n行给出了不含单色三角形的完整图K_n的字典序最早边着色。

0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,26

完整图K_n具有（n-1）+（n-2）+…+1=n（n-1）/2条边，将n个顶点相互连接。我们将颜色与每条边关联，这样就没有单色三角形，即没有三个顶点i<j<k，这样树边（i，j）、（i，k）和（j，k）都具有相同的颜色。

对于每个n，考虑允许这种边着色的最小可能的颜色数k。该表在第n行中列出了长度为n（n-1）/2的词典学上最早的这种着色，即边AB=（1,2），AC=（1,3），BC=（2,3）。。。，AZ=（1，n）。。。，YZ=（n-1，n）。

这是对称n X n矩阵的左下部分（按行读取）或右上部分（按列读取），其中具有索引（i，j）的元素给出了边（i，j）的颜色。

我们推测，行收敛到一个极限，在这个意义上，一个越来越长的初始段对于所有后续行总是保持不变的：对于所有k>=0，有n使得a（m，j）=a（n，j）对于所有m>=n和1<=j<=k。

显然，对于所有n>=2，第一个元素a（n，1）=0，对于所有n>=3，前三个元素总是a（n、1..3）=（0，0，1）。

似乎对于n=6和n=7，对于所有m>=n和1<=k<=n（n-1）/2，我们也有a（m，k）=a（n，k）。是否有其他具有此属性的行索引？（这当然比收敛的要求强得多。）

让我们将min-color称为任何使用相应n的最小颜色数的解决方案。任何行n对前一行的长度m<n的限制总是m的解决方案，但不一定是min-color：对于n=5，我们有一个仅使用2种颜色的解决方案，但对于n>=6，lex最早的解决方案在前4个顶点之间的边之间使用3种颜色。然而，对于n=5，lex最早的解决方案仅使用2种颜色，可以扩展到所有n>=6的解决方案。但是，对于n＝4的lex最早解不能扩展到对于n＝5的最小颜色解。

下列猜想中的一个或另一个能被证明吗？

猜想1：对于任意n，有一个最小颜色的解，可以推广到所有较大m>n的最小颜色解？

猜想2（暗示猜想1）：对于任何n，都有一个min-color解，对于任何较小的m<n，它可以被限制为min-colr解。

由于猜想2没有对词典编纂顺序作出任何假设，因此它与上述序列的行的收敛无关。

链接

n，a（n）的表，n=0..118。

例子

行n=0和n=1的长度为n（n-1）/2=0，因为空图K_0和单子图K_1没有边。

从n=2开始，图K_n的边数为正n（n-1）/2：

n|边的着色（1,2）=AB，（1,3）=AC，（2,3）=BC。。。，（n-1，n）=YZ

---+------------------------------------------------------------------------

2|0（颜色矩阵第2行/第2列中唯一的非对角元素。）

3 | 0; 0、1（颜色矩阵的次对角部分的第2行和第3行。）

4 | 0; 0, 1; 1、0、0（该矩阵对角线下方的第2、3和4行）

5 | 0; 0, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0, 0

6 | 0; 0, 1; 0, 1, 2; 0, 2, 1, 1; 1, 0, 0, 0, 0

7 | 0; 0, 1; 0, 1, 2; 0, 2, 1, 1; 1, 0, 0, 0, 0; 1, 0, 0, 0, 0, 2

8 | ...; 2，0，0，0，0，1，1（其中…=第7行）

9 | ...; 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2; 2, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 1

10 | ...; 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2; 2, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 1; 2, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 0

11 | ...; 2, 0, 0, 0, 1, 1, 2; 2, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 1; 2, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 0

| ; 2, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1

图形K_2仅包含一条颜色为0的边。

图K_3是一个三角形，两条边的颜色为0，第三条边为1。

图K_4是一个有两条对角线的正方形；边AB、AC、BC、AD、BD和CD的颜色分别为0、0、1、1、0和0。

通过附加[0，1，2，0，2]，可以将n=5的给定解扩展为n=6的解。这个解决方案是在词典编纂之后出现的，因为边AD、BD、CD（“颜色矩阵”的第4行/第4列）是着色的（1、0、1），而不是（0、1、2），但对不相邻于最后一个顶点F的所有边只使用2种颜色。

黄体脂酮素

（PARI）行（n）={局部（C=向量（n*（n-1）/2），k，i=矩阵（n，n，i，j，if（i<j，k++）），bad（！k--||C[k]>=k，如果（C[k]++<C，而（k<#C，C[k++]=0）；下一个（2））；C*=0；C++）；C}

交叉参考

第n行的长度为A000217号（n-1）。

第0行到第n行中的元素总数为A000292号（n-1）。

第n行中的不同颜色数为A343607型（n） ●●●●。

上下文中的序列：A366445飞机 A354578型 A339893型*A112553号 A026610号 A094451号

相邻序列：A343603型 A343604 A343605型*A343607型 A343608型 A343609型

关键词

非n,标签

作者

M.F.哈斯勒2021年6月23日

状态

经核准的