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配方奶粉
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a(m,n)=二项式(-n-2/3,m-n)*(-1)^m*9^(m-n)。
通用:(1-9x)^(1/3)/(xy-9x+1)。
递归:对于0<n<=m,a(m,n)=a(m、n-1)*(n-1-m)/(9*n-3);a(m,n)的矩阵逆是a(m、n)-沃纳·舒尔特2017年8月5日
设P(n,x)=Sum_{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)表示x的降次幂的第n行多项式,则(-1)^n*P(n、x)是(1-9*x)^(n-1/3)关于0的第n次泰勒多项式。例如,对于n=4,我们有(1-9*x)^(11/3)=2970*x^4-1980*x^3+396*x^2-33*x+1+O(x^5)。
设R(n,x)表示该三角形的第n行多项式。多项式R(n,9*x)具有例如f.和{k=0..n}T(n,k)*(9*x)^k/k!。三角形第n个对角线的e.g.f.(主对角线从n=0开始)等于exp(-x)*多项式R(n,9*x)的e.g.f。例如,当n=3时,我们有exp(-x)*(360-180*(9*x)+24*(9**)^2/2!-(9*x)^3/3!)=360-1980*x+5544*x ^2!-11781*x^3/3!+21420*x^4/4!-。。。。
设F(x)=(1-(1-9*x)^(1/3))/(3*x)。请参见A025748号F(x)的导数通过恒等式x^n/n!*与行多项式P(n,x)相关(d/dx)^n(F(x))=1/(3*x)*((-1)^n-P(n,x)/(1-9*x)^(n-1/3)),n=0,1,2,。。。。囊性纤维变性。A283151型和A046521号.(结束)
T(n,k)=(-1)^k*二项式(n-1/3,n-k)*9^(n-k)。
与二项式变换类似,我们有以下序列变换公式:g(n)=Sum_{k=0..n}T(n,k)*b^(n-k)*f(k)iff(n)=Sum__{k=0..n}T。见普罗丁格,第413页底部,将b替换为9*b,c=-1和d=2/3。
等价地,如果F(x)=和{n>=0}F(n)*x^n和G(x)=和{n>=0}G(n)*x^n是一对形式幂级数,那么
当F(x)=(1/(1+9*b*x)^(2/3))*G(x/(1-9*b**x))。
无符号数组的无穷小生成器在主子对角上有序列(9*n+6)n>=0,其他地方有零。无符号数组的m次幂包含条目m^(n-k)*|T(n,k)|。(结束)
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示例
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三角形开始
1;
6, -1;
45, -15, 1;
360, -180, 24, -1;
2970, -1980, 396, -33, 1;
24948, -20790, 5544, -693, 42, -1;
212058, -212058, 70686, -11781, 1071, -51, 1;
1817640, -2120580, 848232, -176715, 21420, -1530, 60, -1;
15677145, -20902860, 9754668, -2438667, 369495, -35190, 2070, -69, 1;
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