设S（j）是通过交错级数第j项的部分和，即S（j）=-sum_{m=1..j}（-1）^m/A018252号（m） ●●●●。i>=1的实值序列S（2*i-1），即部分和1/1、1/1-1/4+1/6、1/1-1-4+1/6-1/8+1/9。。。（每个以正项结尾）将从上面接近极限，而i>=1的实值序列S（2*i），即部分和1/1-1/4、1/1-1/4+1/6-1/8、1/1-1-4+1/6-1+8+1/9-1/10。。。（每个以负数结尾）将从下面接近极限。设S'（j）=（S（j-1）+S（j））/2；等价地，S'（j）=-（和{m=1..j-1}（-1）^m/A018252号（m） +（1/2）*（-1）^j/A018252号（j） ），因此S'（j）可以被视为S（j）的调整版本，仅使用S（j。当j值较大时，S'（j）的连续值与S（j）连续值之间的差值相比波动很小，因为S（j在奇数j和偶数j的S（j）值所追踪的路径中间追踪路径。
此外，可以观察到（参见Links下的图表），S'（j）的值本身分为三个截然不同的实值子序列：一个从上面收敛到极限，由j和j-th非素数（即S（j）中最后一项的倒数）均为偶数的值组成；从下向极限收敛，由j为奇数，j为偶数的值组成；一个非常接近中间的值，更快地收敛到极限，由所有这些值组成，其中j次非素数是奇数（与j的奇偶性无关）。最后一个子序列中的值收敛得如此之快，以至于前1000个左右的项足以表明极限明显为0.848132……，下一个数字很可能是另一个2。使用前10^7项，很明显（“放大”比Links下的3曲线图中更接近），极限值为0.8481322118769887……，并且观察到最后一个子序列的行为几乎为j=3*10^9，我确信极限值是0.848132212187698878102544。。。
但是这些数字中有多少可以被严格证明呢？（结束）
为了支持乔恩·肖恩菲尔德的上述评论：一个项在绝对值上递减的交替算术序列的和总是收敛的。他所概述的方法，我们可以称之为“肖恩菲尔德插值”。为了进一步说明和证实他的方法，更简单的和是：log（2）=1/1-1/2+1/3-1/4+。。。可以使用以下Mathematica程序进行计算。注意，只需20000次迭代，只需几秒钟，就可以获得13位数的限制。
总和=0；
iter=20000；
对于[i=1，i<=iter，i=i+2，
sum=sum+1/i；
上限=总和；
如果[i>iter-10，avg1=（上+下）/2；打印[N[{上，下，avg1，（avg1+avg2）/2}，15]]；
总和=总和-1/（i+1）；
下限=总和；
如果[i>iter-10，avg2=（上+下）/2；打印[N[{上，下，avg2，（avg1+avg2）/2}，15]]；
]；
N[日志[2]，15]
{0.693172191189447,0.693122168679318,0.693147179934382,0.693147181497164}
{0.693172191189447,0.693122171181444,0.693147181185446,0.693147180559914}
{0.693172188687571,0.693122171181444,0.693147179934508,0.693147180559977}
{0.693172188687571,0.693122173683070,0.693147181185320,0.693147180559914}
{0.693172186186196,0.693122173683070,0.693147179934633,0.693147180559977}
{0.693172186186196,0.693122176184195,0.693147181185195,0.693147180559914}
{0.693172183685320,0.693122176184195,0.693147179934758,0.693147180559977}
{0.693172183685320,0.693122178684820,0.693147181185070,0.693147180559914}
{0.693172181184945,0.693122178684820,0.693147179934883,0.693147180559977}
{0.693172181184945,0.693122181184945,0.693147181184945,0.693147180559914}
0.693147180559945
（结束）
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