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| A227532型 |
| 三角形的对数导数wrt xA227543号，按行n>=1中的术语k=0..n*（n-1）/2读取。 |
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三
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1, 1, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 4, 6, 8, 8, 4, 4, 1, 5, 10, 15, 20, 20, 20, 15, 10, 5, 5, 1, 6, 15, 26, 39, 48, 57, 60, 54, 48, 36, 30, 18, 12, 6, 6, 1, 7, 21, 42, 70, 98, 126, 154, 168, 175, 168, 154, 133, 112, 84, 70, 49, 35, 21, 14, 7, 7, 1, 8, 28, 64, 118, 184, 256, 336, 408, 472, 516, 536, 532, 504, 464, 408, 360, 296, 248, 192, 152, 112, 88, 56, 40, 24, 16, 8, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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链接
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Stéphane Ouvry和Alexios P.Polychronakos，具有离散光谱的粒子的排除统计，arXiv:2105.14042[第二阶段统计数据]，2021。
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配方奶粉
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L.g.f.：和{k=0..n*（n-1）/2，n>=1}T（n，k）*x^n*q^k/n=Log（g（x，q）），其中g（x、q）=1+x*g（q*x，qA227543号.
求和{k=0..n*（n-1）/2}T（n，k）=二项式（2*n-1，n-1），对于n>=1。
求和{k=0..n*（n-1）/2}T（n，k）*（-1）^k=（-1）*n/2]*二项式（n-1，[（n-1。
和{k=0..n*（n-1）/2}k*T（n，k）=n*2^（2*n-2）-（2*n-1）*二项式（2*n-2，n-1）=A153338号（n） ，对于n>=1。
求和{k=0..n*（n-1）/2}T（n，k）*exp（2*Pi*I*k/n）=（-1）^（n-1；即，当n>=1时，q=exp（2Pi*i/n）处的第n行和，即第n个单位根，等于-（-1）^n。
求和{k=0..[n/2]}T（n，n*k）=A145855号（n） ，元素和为n的倍数的1..2n-1的n个成员子集的数目。
L.g.f.满足：L'（x，q）=P'
P（x，q）=和{n>=0}q^（n^2）*（-x）^n/乘积{k=1..n}（1-q^k），
Q（x，Q）=和{n>=0}Q^（n*（n-1））*（-x）^n/产品{k=1..n}（1-Q^k），
由于Ramanujan的分数恒等式-保罗·D·汉纳2016年12月28日
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例子
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L.g.f.：L（x，q）=x*（1）+x^2*（1+2*q）/2+x^3*（1+3*q+3*q^2+3*q*3）/3
+x^4*（1+4*q+6*q^2+8*q^3+8*q^4+4*q^5+4*q*6）/4
+x^5*（1+5*q+10*q^2+15*q^3+20*q^4+20*qq^5+20*q ^6+15*q ^7+10*q^8+5*q ^9+5*q^10）/5
+x^6*（1+6*q+15*q^2+26*q^3+39*q^4+48*q^5+57*q^6+60*q^7+54*q^8+48*q ^9+36*q ^10+30*q ^11+18*12*q ^12+6*q ^14+6*q^15）/6+。。。
exp（L（x，q））=1+x*（1）+x^2*（1+q）+x*3*（1+2*q+q^2+q^3）
+x^4*（1+3*q+3*q^2+3*qq^3+2*q^4+q^5+q^6）
+x^5*（1+4*q+6*q^2+7*q^3+7*q ^4+5*q^5+5*q ^6+3*q ^7+2*q ^8+q ^9+q ^10）
+x^6*（1+5*q+10*q^2+14*q^3+17*q^4+16*q^5+16*q ^6+14*q ^7+11*q ^8+9*q^9+7*q^10+5*q^11+3*q^12+2*q^13+q^14+q^15）+。。。
此三角形开始于：
1;
1, 2;
1, 3, 3, 3;
1, 4, 6, 8, 8, 4, 4;
1, 5, 10, 15, 20, 20, 20, 15, 10, 5, 5;
1, 6, 15, 26, 39, 48, 57, 60, 54, 48, 36, 30, 18, 12, 6, 6;
1, 7, 21, 42, 70, 98, 126, 154, 168, 175, 168, 154, 133, 112, 84, 70, 49, 35, 21, 14, 7, 7;
1, 8, 28, 64, 118, 184, 256, 336, 408, 472, 516, 536, 532, 504, 464, 408, 360, 296, 248, 192, 152, 112, 88, 56, 40, 24, 16, 8, 8;
1, 9, 36, 93, 189, 324, 489, 684, 891, 1101, 1305, 1476, 1611, 1683, 1701, 1665, 1593, 1476, 1350, 1197, 1053, 900, 765, 630, 522, 405, 324, 243, 189, 135, 99, 63, 45, 27, 18, 9, 9; ...
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=局部（A=1）；对于（i=1，n，A=1+x*子集（A，x，q*x）*A+x*O（x^n））；n*polcoeff（polcoff（log（A），n，x），k，q）}
对于（n=1,10，对于（k=0，n*（n-1）/2，打印1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
（PARI）/*通过Ramanujan的连分数恒等式：*/
{T（n，k）=局部（P=1，Q=1）；
P=总和（m=0，n+1，q^（m^2）*（-x）^m/prod（k=1，m，1-q^k）+O（x^（n+2））；
Q=总和（m=0，n+1，Q^（m*（m-1））*（-x）^m/prod（k=1，m，1-Q^k）+O（x^（n+2））；
极坐标（极坐标（P'/P-Q'/Q，n-1，x），k，Q）}
对于（n=1,10，对于（k=0，n*（n-1）/2，打印1（T（n，k），“，”））；打印（“”）\\保罗·D·汉纳，2016年12月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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