A225660-OEIS公司

A225660型

计数过程中以数字（n为基数2）开头的非重复向量数。

6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 3, 1, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 5, 3, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 7, 5, 7, 5, 5, 7, 5, 7, 7, 5, 7, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 5, 7, 7, 9, 9, 7, 7, 5, 7, 5, 5, 5, 7, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 5, 5, 5, 5

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,1

将下面定义的迭代计数过程应用于由n的二进制数字组成的向量。结果是一个向量序列，其中第一个a（n）是不同的，其余的重复周期为6。

该过程的基本思想是记录S中每个数字的频率或计数，然后迭代此类计数。对于计数序列、look-and-say序列和名词和形容词序列，有各种众所周知的程序，但以下程序似乎不太为人所知。

假设S=（x（1），。。，x（h））是非负整数的向量。设m=最大值（S）和F（S）=（F（0），。。，f（m）），其中f（i）是i在S中的出现次数。定义H（0）=S，H（1）=f（S），H（q）=H（H（q-1）），q>=2。

定理1：序列H（q）最终具有周期6。（下面的证明）我们将“is finally periodic with period p”缩写为“has per（p）”，意思是有数字i和p，因此H（i+p）=H（p）。（定理2在A225869型.)

例如：S=（2,2）。依次确定向量H（q）：

22->002->201->111->03->1001->22，这表明H（6）=F（0），因此S具有per（6）。（本示例是A225869型.)

定理1的证明使用了三个引理：

引理1。如果m>=0且S=（m，2），则S具有per（6）。证明：对于m=0，我们有00->2->001->21->011->12->011，因此（0,0）有per（2），也就是per（6）。很容易检查{2,3,4}中m的（m，2）是否有per（6）。假设m>4。然后m2->0010^（m-3）1->m-1,2，因此通过诱导，S具有per（6）。

引理2。如果m>=0且S=（m），则S具有per（6）。证明：很容易对{0,1,2}中的m进行验证。如果m>2，则m->0^m1->m1->010^（m-2）1->m-12，因此S具有引理1的per（6）。

引理3。如果p>=且q>=0，则（p，q）具有per（6）。证明：假设p<=q，没有损失。如果p在{0,1,2}中，这个断言显然成立，留下两种情况：首先，如果2<p<q，那么pq->0^p-1 1 0^（q-p-1）1->q-1,2，引理2适用；其次，如果2<p=q，则pp->0^p2->p01->110（p-2）1->p-23，如第一种情况。

定理1的证明：从头到尾，只要证明F（S）或F（F（S”）具有per（6）就足够了。基本思想是归纳数字m=max（S）。首先，假设m=0。然后S由k的0组成，因此F（S）=（k），并且根据引理2，F（S）具有per（6）。接下来，如果m=1，那么对于某些p>=0和q>0，S由p0和q1组成。如果p=0，则F（S）=（q），因此F（S；如果p＞0，则F（S）＝（p，q），使得F（S）通过引理3具有per（6）。接下来，如果m=2，有几种情况，我们注意到，对于每种情况，通过将F应用于由引理覆盖的向量，可以很容易地减少。

现在，对于主归纳法，假设R是一个具有最大项u<m的向量，那么R是per（6），假设S是一个m>=2的向量。对于i=0..m，设f（i）是i在S中的频率，然后f（S）=（f（0），。。。f（m））。设（y（1），。。。，y（k）是F（S）的不同元素的向量，按递增顺序，设g（i）是y（i）在F（S，。。。，克（k））。自g（1）+…+g（k）=m+1，F（F（S））是m+1的分区。设M=最大值（F（F（S））。如果M<M，则通过归纳法，F（F（S））具有per（6）。如果M=M，则F（F（S））=（1，M），并且根据引理3，F（F。唯一剩下的情况是M=M+1，其中F（F（S））=（M+1），根据引理2，F（F。

猜想：如果n>9，那么a（n）是奇数。

链接

克拉克·金伯利，n，a（n）表，n=0.-10000

例子

要看到a（0）=6，请写0->1->01->11->02->101->12->011->12，这样6个非重复向量就是（0）、（1）、（0,1）、（1,1）、（0,2）、（0,1,1）。在（0,1,1）之后，循环（1,2）->（0,1）的长度为2，因此向量序列的其余部分具有周期2，因此也具有周期6。

数学

清除[a，t]；扁平[表[a={t=整数位数[n，2]}；而[Count[a，t]=！=2，附加到[a，t=BinCounts[t，{0，Max[t]+1，1}]]；第一个[位置[a，最后一个[a]]-1，{n，0，180}]](*彼得·J·C·摩西2013年5月9日*）

交叉参考

囊性纤维变性。A225661型（基数3），A225664型（以10为基数），A225665型（以16为基数），A225869型.

上下文中的序列：A031055型 A249347号 A284805型*A031056号 A226293型 A055117号

相邻序列：A225657型 A225658型 A225659型*A225661型 A225662型 A225663型

关键词

非n,基础

作者

克拉克·金伯利，2013年5月12日

状态

经核准的