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| A220470型 |
| 具有维数为n的不可约复表示的群的最小阶。 |
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2
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1, 6, 12, 20, 55, 42, 56, 72, 144, 110, 253, 156, 351, 336, 240, 272, 1751, 342, 3420, 500, 672, 506, 1081, 600, 2525, 702, 1512, 812, 1711, 930, 992, 1440
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（1）=1，因为平凡群起作用。
如果n>1，则设G_n是维数n具有不可约复表示的极小阶群。
由于G_n具有n维和平凡表示，因此a_n=|G_n|>=n^2+1。
由于n用维数n的不可约复数表示来划分任何有限群的阶，因此n可以划分a_n，这允许我们加强a_n>=n^2+n的下限。
上界由a_n<=n*q_n给出，其中q_n是素数的幂的最小正整数，与1模n同余。这是因为仿射变换组x-->a*x+b（从有限域F_（q_n）到自身），其中a^n=1，b是F_（q _n）的任意元素，具有n*qn阶和维数n的不可约复数表示。
上界和下界重合当且仅当（n>1和）n+1是素数的幂。这意味着，对于任何这样的n，a（n）=n^2+n。
这个函数是次乘法的：a（m*n）<=a（m）*a（n），因为（任何）G_mxG_n具有维数m*n的不可约复数表示。
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参考文献
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马歇尔·霍尔（Marshall Hall，Jr.），《群体理论》，AMS Chelsea Publishing，1999年再版，第136-138页。
I.Martin Isaacs，《有限群理论》，AMS，2008年，第35页。
戈登·詹姆斯（Gordon James）和马丁·利贝克（Martin Liebeck），《群体的表征和特征》，剑桥大学出版社，1995年再版，第217-218页。
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链接
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肖恩·克利里（Sean Cleary）、罗兰·梅奥（Roland Maio）、，关于旋转距离问题的困难树对计数，arXiv:2001.06407[cs.DS]，2020年。
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例子
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对于n=5，下限是a（5）>=30，而上限是a（五）<=55。
所以我们只需要证明，阶数为30、35、40、45或50的群都没有维5的不可约复表示。
35阶和45阶的所有群都是阿贝尔群，因此它们的所有不可约复表示都具有维数1。
对于阶30、40和50，回想一下，不可约复表示的维数是由阿贝尔子群的指数从上方限定的。
一个50阶的群有一个指数为2的阿贝尔子群。
40阶群有一个正规Sylow 5-子群P，它必须由Sylow 2-子群中的2阶元素t集中。则<P，t>是指数4的循环子群。
一个30阶的群有一个索引为2的循环子群。
所有这些指标都太低，不允许这样的群具有维数5的不可约复表示，并证明了a（5）=55的结果。
Gabriele Nebe（Lehrstuhl Dür Mathematik，RWTH Aachen）的评论，由N.J.A.斯隆2013年4月13日；由扩展大卫·L·哈登2017年11月8日：（开始）
以下是实现a（n）给定值的组的示例。
1=C_1，6=S_3，12=A_4，20=C_5:C_4，55=C_11:C_5，42=C_7:C_6，56=（C_2xC_2xC_2）：C_7，72=C_3xC_3:（L_2（3）在8点上的某些正则子群），144=A_4xA_4 2xC_2xC_2xC_2）：C_15，272=C_17:C_16，1751=C_103:C_17，342=C.19:C_18，3420=PSL_2（19）。
如果一个有一个p阶的小循环群，其中phi（p）是n的倍数，那么取C_p:C_n。对于另一个n，取n+1阶的初等交换群是合理的，它允许其自同构群的一个子群在n个非平凡特征上有规律地作用。（结束）
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交叉参考
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关键词
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非n，更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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