A117997-OEIS公司

A117997号

Sum_{d|n}a（d）=n，对于n=3^m（m>=0），而对于其他n，总和为零；即[1,0,3,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]的Möbius变换。

1, -1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 6, 1, -1, 0, -1, 1, -2, 0, -1, -6, -1, 0, -2, 1, -1, 0, 0, 1, 18, 0, -1, 2, -1, 0, -2, 1, 1, 0, -1, 1, -2, 0, -1, 2, -1, 0, -6, 1, -1, 0, 0, 0, -2, 0, -1, -18, 1, 0, -2, 1, -1, 0, -1, 1, -6, 0, 1, 2, -1, 0, -2, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, 2, -1, 0, 54, 1, -1, 0, 1, 1, -2, 0, -1, 6, 1, 0, -2, 1, 1, 0, -1, 0, -6, 0, -1, 2, -1, 0, 2

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,3

发件人Petros Hadjicostas公司2020年7月26日：（开始）

对于p prime>=2，Petrogradsky（2003）用以下方式定义了乘法函数1_p和mu_p：

当gcd（n，p）=1时，1_（n）=1；当gcd；

当gcd（n，p）=1且mup（n）=mu（m）*（p^s-p^（s-1））时，当gcd。

我们有1_2（n）=A062157美元（n），1_3（n）=A061347号（n），A067856号（n） =mu_2（n），当n>=1时，a（n）=mu_3（n）。

其他贡献者的一些结果A067856号可以概括为：

（i）罗杰尔（1897）公式A067856号当n>1时，变为Sum_{d|n}1_p（d）*mu_p（n/d）=0。因此，1_p是mu_p的Dirichlet逆。

（ii）R.J.马塔尔mu_p的Dirichlet g.f.变为1/（zeta（s）*（1-p^（1-s））。1_p的Dirichlet g.f.是zeta（s）*（1-p^（1-s））。

（iii）贝诺伊特·克洛伊特的公式变为1=Sum_{k=1..n}mu_p（k）*g_p（n/k），其中g_p。

（iv）保罗·D·汉纳的公式变为Sum_{n>=1}（mu_p（n）/n）*log（（1-x^（n*p））/（1-x*n））=x。

（v）序列a（n）名称中的定义概括为Sum_{d|n}mu_p（d）=n，如果n=p^s表示s>=0，否则为=0。因此，mu_p（n）=Sum_{p^k|n，k>=0}mu（n/p^k）*p^k。也就是说，（mup（n）：n>=1）是序列（b_p（n）：n>=1）的莫比乌斯变换，其中b_p。

（vi）我们有Lambert级数和{n>=1}mu_p（n）*x^n/（1-x^n）=和{k>=0}p^k*x^（p^k）=x+p*x^p+p^2*x^1（p^2）+。。。，它将其中一个公式推广为彼得·巴拉在里面A067856号.

（vii）通过微分（iv）w.r.t.x的两边，并将两边乘以x，得到Sum_{n>=1}mu_p（n）*（x^n+2*x^（2*n）+…+（p-1）*x^（n*（p-1x^（n*（p-1））=x，这推广了彼得·巴拉中的公式A067856号它可以被认为是“广义Lambert级数”。

（viii）将（vi）的两边除以x，将w.r.t.x从0积分到y，得到-和{n>=1}（mu_p（n）/n）*log（1-y^n）=和{k>=0}y^（p^k）=y+y^p+y^。。。

（ix）显然，f（n）=Sum_{d|n}1_p（n/d）*g（d）当且仅当g（n）=Sum_}d_n}mu_p（n/d）*f（d）。（结束）

链接

n=1..105时的n、a（n）表。

彼得·巴拉，算术函数的有符号Dirichlet积.

V.M.Petrogradsky，限制李代数的Witt公式，《应用数学进展》，30（2003），219-227。

埃里克·魏斯坦的数学世界，莫比乌斯变换.

配方奶粉

G.f.：x=Sum_{n>=1}（a（n）/n）*log（1+x^n+x^（2*n））。

1=和{k=1..n}a（k）*g（n/k），其中g（x）=楼层（x）-3*楼层（x/3）。[贝诺伊特·克洛伊特，2010年11月11日]

发件人Petros Hadjicostas公司2020年7月26日：（开始）

a（n）=和{3^k|n，k>=0}μ（n/3^k）*3^k。

Dirichlet g.f.：1/（zeta（s）*（1-3^（1-s）））。

序列是的Dirichlet逆A061347号.

求和{n>=1}a（n）*x^n/（1-x^n）=x+3*x^3+9*x^9+27*x^27+81*x^81+。。。

和{n>=1}a（n）*（x^n+2*x^（2*n））/（1+x^n+x^。

-求和{n>=1}（a（n）/n）*log（1-x^n）=x+x^3+x^9+x^27+x^81+。。。（结束）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n==1，1，-n*polcoeff（x+总和（k=1，n-1，a（k）/k*subst（log（1+x+x^2+x*O（x^n）），x，x^k+x*O（x^n））），n））}

交叉参考

囊性纤维变性。A061347号,A062157号,A067856号.

上下文中的序列：A219026型 A085097号 A374132型*A079684号 A358138型 A033761号

相邻序列：A117994号 A117995号 17996年*A117998号 17999年 A118000个

关键词

签名

作者

保罗·D·汉纳2006年4月8日

扩展

偏移量更改为1Petros Hadjicostas公司2020年7月26日

状态

经核准的