A105531-OEIS公司

A105531号

反正切1/3的十进制展开。

3, 2, 1, 7, 5, 0, 5, 5, 4, 3, 9, 6, 6, 4, 2, 1, 9, 3, 4, 0, 1, 4, 0, 4, 6, 1, 4, 3, 5, 8, 6, 6, 1, 3, 1, 9, 0, 2, 0, 7, 5, 5, 2, 9, 5, 5, 5, 7, 6, 5, 6, 1, 9, 1, 4, 3, 2, 8, 0, 3, 0, 5, 9, 3, 5, 6, 7, 5, 6, 2, 3, 7, 4, 0, 5, 8, 1, 0, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 4, 0, 8, 4, 2, 2, 3, 5, 0, 6, 4, 1, 3, 7, 4, 4, 3, 9, 0, 0, 7

(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,1

弧（1/3）+A073000型=2*弧（1/3）+A105533号=Pi/4。

链接

n=0..104时的n、a（n）表。

彼得·巴拉，旧功能的新系列

昆勒·阿德戈克，涉及Fibonacci和Lucas数的无穷反正切和，arXiv:1603.08097[math.NT]，2016年。

埃里克·魏斯坦的数学世界，类机器公式

配方奶粉

发件人彼得·巴拉2015年2月4日：（开始）

反正切（1/3）=（1/3）*和{k>=0}（-1）^k/（2*k+1）*9^k）。

定义一对整数序列a（n）=9^n*（2*n+1）/不！B（n）=A（n）*Sum_{k=0..n}（-1）^k/（（2*k+1）*9^k）。这两个序列满足相同的递推方程u（n）=（32*n+20）*u（n-1）+36*（2*n-1）^2*u（n-2）。从这个观察结果中，我们发现连续分数膨胀arctan（1/3）=（1/3）*（1-2/（54+36*3^2/（84+36*5^2/。

arctan（1/3）=（3/10）*和{k>=0}（2/5）^k/（（2*k+1）*二项式（2*k，k））。

定义一对整数序列C（n）=10^n*（2*n+1）/不！D（n）=C（n）*和{k=0..n}（2/5）^k/（（2*k+1）*二项式（2*k，k））。两个序列都满足相同的递推方程u（n）=（44*n+20）*u（n-1）-80*n*（2*n-1）*u（n-2）。从这个观察结果中，我们得到了连续分数膨胀arctan（1/3）=（3/10）*（1+4/（60-480/（108-1200/（152-…-80*n*（2*n-1）/（（44*n+20）-…））））。（结束）

反弧（1/3）=和{k>=0}反弧（（L（4k+2）/F（4kx2）^2），其中L=A000032号和F=A000045号。另请参阅A033890型和A246453型. -米歇尔·马库斯2016年3月29日

发件人阿米拉姆·埃尔达尔，2020年8月9日：（开始）

等于Sum_｛k>=2｝arctan（1/（2*k^2））=Sum_｛k>=2｝（-1）^k arctan（2/k^2）。

等于积分{x=1..2}1/（x^2+1）dx。（结束）

等于和{n>=0}反正切（1/F（2*n+5））=和{n>=0}（-1）^n反正切（F（2xn+1）），其中F=A000045号. -格列布·科洛斯科夫2021年10月1日

例子

0.3217505543966421934014046143...

数学

真数字[ArcTan[1/3]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2011年10月28日*）

黄体脂酮素

（PARI）atan（1/3）\\米歇尔·马库斯2016年3月29日

交叉参考