因此，如果我们将定义替换为：a（n）是从无限方格中选择的n个点可以形成的最大正方形数，我们将获得相同的值。
换言之，取无限正方形网格。选取一组由n个网格点组成的S，并让c（S）为构成任意（非零）大小的正方形的S的四个点的子集数。则a（n）=c（S）在所有S选项中的最大值。
在[Elekes--Erdos]中研究了估计点配置中相似图形的最大数目的一般问题。参考文献见[Matousek，p.47]和[AFKK]。请注意，当前关于正方形的问题与[AFR]中处理的右等腰三角形的情况具有一些相同的属性。
以下评论已经过时，将很快进行修订，以反映2021年10月序列粉丝邮件列表的一些成员所取得的进展。
Sascha Kurz等人的报告将提供更详细的说明，该报告即将完成。
n<=9（现在是16]）的值是准确的，并且a和b的值是相同的（参见雨果·范德桑登和贝诺·朱宾（Hugo van der Sanden）以及贝诺·特朱宾（Benoêt Jubin）对n<=7和萨沙·库兹（Sascha Kurz）对n=9的证明，这些证明进一步对这些值的所有最佳配置进行了分类）。n>9的值是推测性的，因为它们是通过在边ceil的正方形（sqrt（n））内穷举搜索网格点而获得的，这是一个合理的假设。证明最佳配置（边长gcd等于1）的直径最多为f（n），f增长适中，将允许从穷举搜索中精确计算值。
渐进行为：
一个有a（n），b（n）=Theta（n^2）：
上限：由于两个顶点决定正方形，因此其中一个顶点的b（n）=O（n^2）。更明确地说：一对点唯一地确定了将其作为对角线的正方形，正方形有两条对角线，因此b（n）<=n（n-1）/4~n^2/4。
下限：当n=m^2时，[0，m-1]^2中所有网格点的集合产生S=n（n-1）/12平方。事实上，对于[0，m-1]中的a和[1，m]中的b，在（a，0）和（0，b）上形成的正方形（作为其“左下侧”）有其他顶点（a+b，b）和（a，a+b），因此该正方形有（m-（a+b））^2个平移。因此，S=Sum_{a=0..m-1}和{b=1..m}（m-（a+b））^2。通过改变求和指数（（a，c）：=（a，a+b）），使用前m个整数、正方形、立方体的和进行展开和重构，可以得到S=n（n-1）/12。因为a是非递减的，所以a（n）>=（n-1）（n-2）/12~n^2/12。
我们实际上有更好的上下限：
0.09…=（1-2/Pi）/4<=极限a（n）/n^2<=极限b（n）/n^2<=1/6=0.16。。。
上界在[AFR]中给出（计算等腰直角三角形，因此其值必须除以四，即在正方形上形成的等腰直角三角的数量）。这得出b（n）<=（2/3*（n-1）^2-5/3）/4。
下限（由于Peter Munn的原因，请参阅链接中的SeqFan帖子）：对于r>=0，用D（r）表示以原点为中心的圆盘，半径为r。如果A是D（rr^2（作为圆盘面积的比例，这是两倍A258146型). 因此，D（R）中包含的网格方格的数量S可以估计如下：由于至少有两个顶点与原点等距的方格集可以忽略不计，我们可以假设每个方格都有一个距离原点最远的唯一顶点，例如距离R，它对应于上面的a。然后相反的顶点B位于上面计算的区域中，并且A和B之间的L^1（也称为直线或曼哈顿）距离是偶数（作为相反的顶点，它们是两个相隔的边），因此我们必须将该区域除以2。在距原点约r的距离上，大约有2*Pi*r网格点，因此在一阶，S~=Integral_{r=0..r}Pi*r（Pi-2）r^2 dr=Pi（Pi-2。由于圆盘D（R）包含大约Pi*R^2点，因此得到S==（1-2/Pi）/4 n^2。
猜想：在一个适当选择的圆内，所有网格点没有形成最大排列的数字n的渐近密度为0-彼得·穆恩2021年9月30日
对于a（n）（n<=17）的已知值，有一个使用上述猜想指定的圆形成的最大排列。对于n<=100，尚未发现任何排列包含的正方形数超过使用圆获得的最佳正方形数，如A348469飞机. -彼得·穆恩2021年11月12日
