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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
A032106号 具有n个黑色珠子和n-1个白色珠子的可逆字符串的数量。字符串不是回文。 1
1, 1, 4, 16, 60, 226, 848, 3200, 12120, 46126, 176232, 675808, 2599688, 10028292, 38777664, 150266880, 583395120, 2268771670, 8836291640, 34461586016, 134564376232, 526024564572, 2058357329184 (列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1、3
评论
发件人Petros Hadjicostas公司，2018年6月30日：（开始）
使用下面C.G.Bower关于变换的网络链接中的公式，可以证明，对于k>=2，具有G.f.e（x）=Sum_{n>=1}e（n）*x^n的序列（e（n）:n>=1）的BHK[k]变换，如果k是偶数，则具有生成函数B_k（x）=（1/2）*（e（x）^k-e（x^2）^{k/2}），并且B_k（x）=e（x）*B_{k-1}（x）=（e（x）/2）*（e x）^｛k-1｝-e（x^2）^｛（k-1）/2｝)如果k是奇数。对于k=1，Bower假设（e（n）：n>=1）的BHK[k=1]变换是自身，这意味着输出序列的g.f.是e（x）。（并非所有数学家都接受这个假设，因为长度为1的序列不仅是可逆的，而且也是回文的。）
对于这个序列，e（n）=1表示所有n>=1，因此e（x）=x/（1-x）。我们有一个（n）=BHK[n]（（e（n）：n>=1））（2*n）=（2*n）-（1，1，1…）的BHK[n]变换的输出序列的第个元素。
对于k=2*m（m>=1），我们有B_k（x）=（x^k/2）*（1/（1-x）^k-1/（1-x ^2）^{k/2}）=（x ^k/2。这意味着a（2*m）=（1/2）*（C（4*m-1，2*m。
对于k=2*m+1（当m>=1时），我们有B_k（x）=（x^k/2）*（1/（1-x））*（（1/。利用泰勒展开和级数运算（细节省略），我们得到B_{2m+1}（x）的第（2*（2m+1））项的系数是a（2*m+1）=（1/2）*（Sum_{0<=s<=2*m+1}C（2*m+s-1，s）-Sum_{0<=s<=m}C（m+s-1，s））=（1/2）*（C（4*m+1，2*m+1）-C（2*m，m））。（对于m=0，此公式不成立，因为a（1）=1。请参阅上面关于BHK[k=1]转换的注释。）
（结束）
这个序列的a（n）的公式是拉尔夫·斯蒂芬的猜想74。伊丽莎白·威尔默（Elizabeth Wilmer）解决了这个问题（见以下链接之一中的提案3）。她不接受鲍尔关于长度为1的字符串不是回文的断言-Petros Hadjicostas公司2018年7月4日
链接
n=1..23时的n，a（n）表。
C.G.Bower，变换（2）
拉尔夫·斯蒂芬，证明或反驳：来自OEIS的100个猜想，arXiv:math/0409509[math.CO]，2004年。
伊丽莎白·威尔默，关于Stephan猜想72、73和74的注记
伊丽莎白·威尔默，关于Stephan猜想72、73和74的注记[缓存副本]
配方奶粉
“BHK[n]（2n）”（可逆，同一，未标记，n部分，2n元素）1，1，1。。。
a（2n）=1/4*[C（4n，2n）-C（2n，n）]和a（2n+1）=A034872号（4n+2）-A034872号（4n+1），对于n>=1。
发件人Petros Hadjicostas公司2018年7月1日：（开始）
对于n>=1，a（2*n+1）=（1/2）*（C（4*n+1，2*n+1）-C（2*n，n））。
a（n）=（1/8）*（2*A000984号（n） -（3-（-1）^n）*A000984号（地板（n/2）），n>=2。
G.f.：x+f（x）/4-（2*x+1）*f（x^2）/4，其中f（x）=1/sqrt（1-4*x）=G.fA000984号.
（结束）
数学
a[1]=1；a[n]：=（1/4）如果[EvenQ[n]，二项式[2n，n]-二项式[n，n/2]，二项式[2n、n]-2二项式[1，（n-1）/2]]；数组[a，23](*Jean-François Alcover公司2019年1月20日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000984号,A034872号.
上下文中的序列：A128650个 A072335号 A081161号*A269462型 A047097号 A051043号
相邻序列：A032103号 A032104型 A032105号*A032107号 A032108号 A032109号
关键词
非n
作者
克里斯蒂安·鲍尔
状态
经核准的

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上次修改时间：美国东部夏令时2024年6月18日20:38。包含373487个序列。（在oeis4上运行。）