%I#162 2022年12月11日13:42:54

%S 1,2,4,9,23,6519762056691823714825002905121034123707852，

%电话：134026974876036717840515765604385724233070478987467，

%电话：33453694487124936258127467995871777175790001910166198464205532498719949270594520750408709358268702159069

%N加泰罗尼亚数字的部分和（A000108）。

%这也是将生成函数A->1/（（1-x）*（1-x*A））上的变换应用于加泰罗尼亚数的g.f.的结果。

%Cp将素数p=3除以a（p）-3，p={7，13，19，31，37，43，…}=A002476（形式为6*n+1的素数）。对于素数p>3，p^2除以a（p^2）-3_Alexander Adamchuk，2006年7月11日

%C素数p将a（p）除以p={2，3，5，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89，101，…}=A045309（素数与{0，2}模3同余）；和A045309（素数p使得x^3=n（整数）只有一个解mod p）。A128287={1，8，133，…}中列出了n除以a（n）的非素数n_Alexander Adamchuk_，2007年2月23日

%C对于p素数>=5，根据p=1或-1（mod 3），a（p-1）=1或-2（mod p）（参见平移和日光链接）。例如，当p=5时，a（p-1）=23=-2（mod p）_David Callan，2007年11月29日

%C汉克尔变换是A010892（n+1）_保罗·巴里（Paul Barry），2009年4月24日

%C等于A000245的INVERTi变换：（1，3，9，28，…）_Gary W.Adamson_，2009年5月15日

%C加泰罗尼亚数素数部分和的子序列开始于：a（1）=2，a（4）=23，a（6）=197，a（16）=48760367；参见A121852。-_Jonathan Vos Post，2010年2月10日

%C从（0,0）到（n，n）不超过对角线x=y的晶格路径数，使用步骤（1，k），（k，1），其中k>=1，包括两种（1,1）_Alois P.Heinz_，2015年10月14日

%A086246（n+1）的C二项式变换=[1，1，1，2，4，9，…]，或者，等价地，A001006（Motzkin数）的C二项式变换，前面加了1。

%H G.C.Greubel，n表，n=0..1000的a（n）

%H G.Alvarez、J.E.Bergner和R.Lopez，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Bergner/bergner2.html“>行动图和加泰罗尼亚数字，J.Int.Seq.18（2015），15.7.2。

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%H Maciej Bendkowski和Pierre Lescane，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.03862“>显式替换的组合数学</a>，arXiv:1804.03862[cs.LO]，2018。

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%韩国牛（H Guo-Niu Han），《标准拼图的枚举》（Enumeration of Standard Puzzles），2011年。[缓存副本]

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%H Hao Pan和Zhi-Wei Sun，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0509648“>应用于加泰罗尼亚数字的组合恒等式，arXiv:math/0509648[math.CO]，2005-2006。

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%H Kevin Topley，<a href=“http://arxiv.org/abs/1601.04223“>加泰罗尼亚数字和的计算有效边界，arXiv:1601.04223[math.CO]，2016。

%F a（n）=A014138（n-1）+1。

%联邦政府：（1-（1-4*x）^（1/2））/（2*x*（1-x））。

%F a（n）=和{k=0..n}（2k）/（k！）^2/（k+1）。-_Alexander Adamchuk，2006年7月11日

%带递推的F D-有限：（n+1）*a（n）+（1-5*n）*a_R.J.Mathar，2011年12月14日

%F Mathar的公式简化为2*（2*n-1）*C（n-1）=（n+1）*C_Peter J.Taylor_，2015年3月23日

%F设C（n+1）=二项式（2*n+2，n+1）/（n+2）和H（n）=超几何（[1，n+3/2]，[n+3]，4），然后A014137（n）=-（-1）^（2/3）-C（n+1_Peter Luschny_，2012年8月9日

%F G.F.（猜想）：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1+（4*k+1）*x/；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月14日

%F a（n）~2^（2*n+2）/（3*sqrt（Pi）*n^（3/2））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年12月10日

%如果n>=0_Michael Somos，2015年10月24日

%F a（n）=（1+A000108（n）*（3*（n+1）*超深层（[1，-n]，[1/2-n]，1/4）-4*n-2））/2.-_Vladimir Reshetnikov，2016年10月3日

%F G.F.A（x）满足：A（x_伊利亚·古特科夫斯基，2021年7月25日

%F来自_Peter Luschny2022年11月16日：（开始）

%F a（n）=C（n）*超几何（[1，-n-1]，[1/2-n]，1/4）+1/2。

%F a（n）=A358436（n）/C（n）。（完）

%总资产=1+2*x+4*x^2+9*x^3+23*x^4+65*x^5+197*x^6+626*x^7+2056*x^8+。。。

%p a:=proc（n）选项记忆`如果`（n<2，n+1，

%p（（5*n-1）*a（n-1）-（4*n-2）*a（n-2））/（n+1））

%p端：

%p序列（a（n），n=0..30）；#_Alois P.Heinz，2013年5月18日

%p A014137列表：=proc（m）局部A，p，n；答：=[1]；P：=[1]；

%p表示n从1到m-2 do p:=ListTools:-部分和（[op（p），p[-n]]）；

%pA:=[op（A），p[-1]]od；A端：A014137List（30）；#_Peter Luschny2022年3月26日

%t表[Sum[（2k）！/（k！）^2/（k+1），｛k，0，n｝]，｛n，0,30｝]（*_Alexander Adamchuk_，2006年7月11日*）

%t累计[CatalanNumber[范围[0,30]]（*哈维·P·戴尔，2012年5月8日*）

%t a[n_]：=级数系数[（1-（1-4x）^（1/2））/（2x（1-x）），{x，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2015年10月24日*）

%t表[（1+CatalanNumber[n]（3（n+1）Hypergeometric2F1[1，-n，1/2-n，1/4]-4 n-2））/2，{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2016年10月3日*）

%o（PARI）Vec（（1-（1-4*x）^（1/2））/（2*x*（1-x））+o（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年2月11日

%o（PARI）

%o sm（v）={my（s=向量（v））；s[1]=v[1]；对于（n=2，v，s[n]=v[n]+s[n-1]）；s；}

%o C（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）；

%o sm（矢量（66，n，C（n-1）））

%o/*_Joerg Arndt_，2013年5月4日*/

%o（Python）

%o来自未来进口部门

%o A014137_列表，b，s=[]，1，0

%o表示范围（10**2）内的n：

%o s+=b

%o A014137_list.append（s）

%o b=b*（4*n+2）//（n+2

%o（鼠尾草）

%o定义A014137（）：

%o f，c，n=1，1，1

%o当为True时：

%o产量f

%o n+=1

%o c=c*（4*n-6）//n

%o f=c+f

%o a=A014137（）

%o打印（[next（a）for _ in range（29）]）#_Peter Luschny_，2016年11月30日

%Y参见A000108、A000245、A000984、A001246、A002476、A00897、A006134、A033536、A045309、A079727、A082894、A094638、A0946.39、A128287、A358436。

%K诺恩，不错

%O 0,2

%A·N·J·A·斯隆_