%I M1068#83 2022年4月14日07:23:44

%S 1,1,2,4,7,13,23,41,721272223886771177920523569620310778，

%电话：1872232513564559801717016129538951275589004315449072681554，

%电话：4654417807867914022089243378974224273273319574127258596208878683

%N定义A039924的g.f.倒数的展开。

%C猜想：a（n）是成分p（1）+p（2）+…+的数量p（m）=n，其中p（i）-p（i-1）<=1，参见示例；参见A034297_Vladeta Jovovic_，2004年2月9日

%C A168396中三角形的行和和中心项：a（n）=A168395（2*n+1，n），当n>0时：a（n）=和{k=1..n}A168397（n，k）.-_Reinhard Zumkeller，2013年9月13日

%C以前的定义是“行列式倒数的展开”。-N.J.a.Sloane，2018年8月10日

%C From _Doron Zeilberger_，2018年8月10日：（开始）

%乔沃维奇的猜想可以证明如下。在成对（L1，L2）上定义了一个变号对合，其中L1是连续部分之间差异大于等于2的分区，L2是Jovovic描述的成分数量，符号为（-1）^（L1的部分数量）。

%C设a是L1的最大部分，b是L2的最大部件。如果b-a>=2，则将b从L2移动到L1顶部，否则将a移动到L2顶部。

%C由于这是一个对合，它改变了符号（L1的部分数改变了奇偶性），这就证明了这一点，因为A039924的g.f.正是L1给出的集合的有符号枚举。（结束）

%D D.H.Lehmer，某些三对角矩阵的组合和分圆性质。《第五届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1974年），第53-74页。国会数学家，第X号，实用数学。，曼彻斯特州温尼伯，1974年。MR0441852。

%D H.P.Robinson，致N.J.A.Sloane的信，1973年11月19日。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Alois P.Heinz，<a href=“/A003116/b003116.txt”>n，a（n）表，n=0..4176</a>（T.D.Noe的前401个术语）

%H Roland Bacher，<a href=“https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03221466“>通用数值半群</a>，hal-03221466[math.CO]，2021。

%H George Beck和Shane Chern，<a href=“https://arxiv.org/abs/1208.04363“>分区和组合之间的相互作用</a>，arXiv:2108.04363[math.CO]，2021。

%H Shalosh B.Ekhad和Doron Zeilberger，<a href=“https://arxiv.org/abs/1808.06730“>D.H.Lehmer的三对角行列式：（Andrews-Inspired）实验数学中的练习曲，arXiv:1808.06730[math.CO]，2018。

%H Miguel Mendez，<a href=“https://arxiv.org/abs/2009.04623“>Shift-plethysm、Hydra连分式和m-distinct分区，arXiv:2009.04623[math.CO]，2020。

%H Herman P.Robinson，致N.J.a.Sloane的信，1973年11月13日。

%H Herman P.Robinson，致N.J.a.Sloane的信，1973年11月19日。

%F G.F.：1/（和{k>=0}x ^（k^2）（-1）^k/（乘积{i=1..k}1-x ^i））。

%F a（n）~c*d^n，其中d=1/A347901=1.7356628245304755626074971966853…和c=0.9180565304926754125870866477349969555868577236908640010903420353…-Vaclav Kotesovec_，2021年11月1日

%e发件人_Joerg Arndt_，2012年12月29日：（开始）

%e有a（6）=23个成分p（1）+p（2）++p（m）=6，使得p（k）-p（k-1）<=1：

%e[1][1 1 1 1 1 1]

%e[2][1 1 1 1 2]

%e[3][1 1 2 1]

%e[4][1 1 2 1 1]

%e[5][1 1 2 2]

%e【6】【1 2 1 1 1】

%e【7】【1 2 1 2】

%e[8][1 2 2 1]

%e[9][1 2 3]

%e[10][2 1 1 1 1]

%e[11][2 1 1 2]

%e[12][2 1 2 1]

%e[13][2 2 1 1]

%e[14][2 2 2]

%e[15][2 3 1]

%e[16][3 1 1 1]

%e[17][3 1 2]

%e[18][3 2 1]

%e[19][3 3]

%e[20][4 1 1]

%e[21][4 2]

%电子[22][5 1]

%e【23】【6】

%e用p（k）-p（k-1）<=0替换条件，得到整数分区。

%e（结束）

%t最大值=35；f[x_]：=1/总和[x^k^2*（（-1）^k/乘积[1-x^i，{i，1，k}]），{k，0，Floor[Sqrt[max]]}]；系数列表[系列[f[x]，{x，0，max}]，x]（*_Jean-François Alcover_，2012年6月12日，PARI之后*）

%tb[n_，k_]：=b[n，k]=展开[如果[n==0，1，x*

%t和[b[n-j，j]，{j，1，Min[n，k+1]}]]；

%t a[n]：=总计@系数列表[b[n，n]，x]；

%t表[a[n]，{n，0，35}]（*_Jean-François Alcover_，2022年4月14日，在A168443*中的_Alois P.Heinz之后）

%o（PARI）a（n）=如果（n<0,0，polceoff（1/sum（k=0，sqrtint（n），x^k^2/prod（i=1，k，x^i-1,1+x*o（x^n）），n））

%o（哈斯克尔）

%o a003116 n=a168396（2*n+1）n---雷因哈德·祖姆克尔，2013年9月13日

%Y参考A003114、A039924、A034297、A168443、A224959。

%K nonn，很好，很容易

%0、3

%A _N.J.A.Sloane，_Herman P.Robinson_

%E定义由N.J.A.Sloane根据Doron Zeilberger的建议于2018年8月10日修订_