话题
搜索

百元、百位数挑战问题

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

百美元、百位数挑战问题是数值分析中的一组十个问题，发表在2002年1月/2月的SIAM新闻(http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf).这些问题的提出者尼克·特雷费坦（Nick Trefethen）向此人提供了100美元的奖金或获得最大正确位数的组（最多10位）到2002年5月20日，这些问题。Trefethen低估了问题的独创性求解者和20个独立小组获得了所有10个问题的10个正确数字。在一位匿名捐赠者介入帮助支付超出预期的款项后，到2002年12月，所有获奖者都获得了奖金。

提出的问题如下。

百美元1票

1.什么是lim（epsilon->0）int_epsilon^1x^（-1）cos（x^，-1）lnx）dx? 这个该问题很难按其原始形式进行数值积分，因为原点附近的强烈振荡。然而，通过进行替换u=-lnx/x，可以转换为积分

h_1=int_0^infty（cosu）/（u{1+[W（u）]^（-1）}）du
(1)

它使用振荡数值积分技术收敛得相当快。

Boersma和Jansen使用等高线积分将问题转化为

h1=int_0^（pi/2）sin（tsint）e^（-tcost）dt+int_1^ infty（cos（1/2piy））/（y^（y+1））dy，
（2）

每一个都很快会聚。

劳里注意到积分可以写成

h_1=R[int_Cz^（i/z-1）dz]，
(3)

哪里C类是从0到1的任何轮廓，因此不存在奇点在由定义的区域中C类以及从0到1的线路（Wagon 2004）。例如，C=（0,1/2+i，1）就是这样的轮廓。

这个问题也可以通过将被积函数写成渐近级数来解决

xcos[xln（x^（-1））]=sum_（k=0）^infty（（-1）^k）/（2k）！）（ln^（2k）x）x（2k+1）
(4)

并逐项积分以获得强振荡和

h1=总和（k=1）^系数（-1）^（k+1）（2k）^。
(5)

令人惊讶的是，可以使用韦恩ε法使用适当数量的项和外推程度来获得大约7位正确数字。

2.光子以1的速度在x个-年 飞机开始于t=0在（x，y）=（0.5,0.1）向正东行驶。大约每个整数晶格指向 （i，j）在中飞机，一个圆镜半径的1/3已安装。光子离原点有多远在t=10?

3无限矩阵 A类包含个条目a_（11）=1,a_（12）=1/2,a_（21）=1/3,a_（13）=1/4,a_（22）=1/5,a_（31）=1/6等是上的有界运算符l^2号.什么是||A类||? 这个问题相当于找到最大的奇异值具有入口的无限矩阵

a_（ij）=2/（2-i+i^2-3j+2ij+j^2），
（6）

即矩阵

A=[1 1/2 1/4…；1/3 1/5…；1/6……；……；……；|||…]。
(7)
百美元4图

4.什么是全局最小值函数的

exp（sin（50x））+sin（60e^y）+sin（70sinx）+sins（80y）-sin（10（x+y））+1/4（x^2+y^2）？
(8)

（参见Bailey等。2007年，第12和219页；坎帕斯和品特2006）。这个问题可以在沃尔夫拉姆语言.

N最小化[f[x，y]，{x，y}，方法->{“随机搜索”，“搜索点”->700}，工作精度->20]

5.让f（z）=1/伽马（z），其中伽玛（z）是伽玛函数,然后让p（z）成为三次多项式最接近的f（z）上单位磁盘在中上确界范数 ||·||_infty.什么是||f-p||_infty?

跳蚤从(0,0)关于无限二维整数晶格并执行偏向随机的，随机的步行：在每一步，它都以1/4的概率向北或向南跳跃，以1/4的几率向东跳跃1/4+ε和西方的可能性1/4ε跳蚤返回到（0，0）的概率有时在它游荡的时候是1/2。是什么ε?

通过求解给出解决方案

（活塞（2+16epsilon^2-2sqrt（1-16epsilen^2））/（K（sqrt，
(9)

哪里K（K）是一个完成第一类椭圆积分，等价地，它由

平方（2）AGM（平方（1+8ε^2-sqrt（1-16ε^2）），
(10)

哪里年度股东大会（a、b）是算术几何意思是.

也可以通过求解u（ε）=2，其中

u（ε）=2/piint_0^pi（dphi）/（平方（3-4cosphi+cos^2phi+16epsilon^2））
(11)
=2/像素_（-1）^1（dt）/（平方（1-t^2）平方（3-4t+t^2+14epsilon^2））
(12)
=（2sqrt（2））/，
（13）

（博内曼，2002年）。

7.出租A类成为20000×20000 矩阵其条目除了素数2，3，5，7。。。，沿干管224737对角线的以及所有位置的数字1a_（ij）具有|i-j |=1, 2, 4, 8, ..., 16384.什么是A^（-1）?

这个问题可以精确地解决，得到一个有理数，其中分子和分母各有一个97389数字：

h_3=（31016407491…417983612357075）/（42776629106…013006012935182）
(14)

（Wagon 2004）。

8.方形板[-1,1]×[-1,1]位于温度 u=0.时间t=0，温度升高到u=5沿着四个边之一u=0沿着其他三个侧面，然后热量流入板符合u_t=德尔套.温度何时达到u=1在盘子的中心？

给出10个正确数字的表达式如下所示

h8=-1/（pi^2）ln（-81pi^4+518400x-691200x^3+345600x^5-76800x^7+6400x^9）_1，
(15)

哪里（P（x））_n是一个多项式根.要获得更高的准确性，需要使用更多的系列术语。

百美元9图

9完整的 I（α）=int_0^2[2+sin（10alpha）]x^alphasin（alpha/（2-x））dx取决于关于参数阿尔法.价值是什么α英寸[0.5]在其中I（α）达到最大值？

通过改变变量u=1/（2-x），积分可以转换为

I（α）=4sqrt（pi）γ（α）G_（2,4）^（3,0）（α^2）/（16）|（α+2）/2，（α+3）/2；1/2,1/2,1,0）[sin（10alpha）+2]。
(16)

通过绘图，可以看到最大值出现在α=0.78，并且可以使用标准根查找技术以达到高精度。

10.位于中心的粒子10×1 矩形经历布朗运动（即2D随机游走步长无穷小），直到到达边界。概率是多少它击中一端而不是侧面？令人惊讶的是，这个问题有一个封闭的解决方案，由

h（10）=4/pisum_（k=0）^（infty）（（-1）^k）/（2k+1）秒[5pi（2k+1]
(17)
=8/pisum_（k=0）^（infty）（-1）^ktan^（-1）[e^（-5pi（2k-1））]
(18)
=2/皮秒^（-1）平方英尺（λ（1/（10）i））
(19)
=2/皮辛^（-1）[（3-2平方（2）））^2（2+平方（5））^ 2×（10）-3）^2，
(20)

哪里λ（τ）是椭圆形lambda函数（比照贝利等。2007年，第48页）。

下表总结了解决方案。

#组织环境信息系统hn（小时）
1A117231号0.3233674316
2A117232号0.9952629194
三。A117233号1.274224152
4A117234号-3.306868647
5A117235号0.2143352345
6A117236号0.06191395447
7A117237号0.7250783462
8A117238号0.4240113870
9A117239号0.7859336743
10A117240型3.837587979×10^(-7)

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

D.H.贝利。和J.M.Borwein。《实验数学示例问题》，2003年9月22日。网址：http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/expmath-probs.pdf.贝利，D.H。；博温，J.M。；新泽西州卡尔金。；Girgensohn，R。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2007年。胡须，学士。；梅德利，B。；和van Gans，M.《2002年SIAM挑战》http://www.maxwellian.demon.co.uk/~marijke/SIAM2002/.波尔斯马，J。；Jansen，J。；西蒙斯，S。；和Steutel，F.“SIAM 100美元100位数挑战”http://www.win.tue.nl/scg/siamcontest网站/.博内曼，F.“关于Trefethen百位数挑战解决方案的简短评论”2002年11月5日。http://www-m3.ma.tum.de/m3old/ftp/Bornemann/pdf/short.pdf.博内曼，F、。；劳伊尔，D。；货车，S。；和J.Waldvogel。这个SIAM 100位挑战：高精度数值计算研究。费城，PA：SIAM，2004年。其他材料可在http://www-m8.ma.tum.de/m3/bornemann/challengebook/.博文，J·M·。“100位数挑战：扩展回顾。”数学。智能手机 27,40-48, 2005.Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，第22-24页，2003年。Briggs，K.“百美元，百位数挑战。"http://keithbriggs.info/solutions.html.坎帕斯，F·J。和J.D.Pintér。“配置分析和设计使用Mathematica中的优化工具。"数学杂志。 10, 128-154,2006Kern，M.“SIAM百美元、百位数的解决方案挑战”。“报告，2002年5月。网址：http://www-rocq.inria.fr/~kern/Challenge/RR-Challenge.pdf.劳里，D.“Trefethen挑战问题”http://dip.sun.ac.za/~laurie/treefethen-challenge/.莱斯利，M.（编辑）。“NetWatch:十进制十项全能。”科学类 295, 1431,2002新泽西州斯隆。答：。序列A117231号,A117232号,A117233号,A117234号,A117235号,A117236号,A117237号,A117238号,A117239号,和A117240型在线百科全书整数序列的。"Trefethen，N.“一百美元，一百位数挑战。"SIAM新闻 352002年1月/2月，第1期。http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf.特雷费坦，N.“SIAM 100美元100位数挑战赛。”http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/hundred.html.特雷费琴，不适用。“训练有素的挑战赞助商：”我判断错了。"SIAM新闻 35,第6期，第1-3期，2002年7月/8月。特罗特，M。这个编程数学指南。纽约：Springer-Verlag出版社，第109页，2004http://www.mathematicaguidebooks.org/.魏斯坦，东-西。“百美元挑战。”数学世界头条新闻,2002年2月4日。http://mathworld.wolfram.com/news/2002-02-04/challenge/.魏斯坦，东-西。“宣布百美元挑战赛获胜者。”数学世界标题新闻2002年5月25日。http://mathworld.wolfram.com/news/2002-05-25/challenge（挑战）/.货车，S.“解决方案”http://stanwagon.com/wagon/Misc/Links/SIAMchallenge_lnk_2.html.货车，S.“SIAM 100位数挑战”，沃尔夫拉姆技术会议，香槟伊利诺伊州，2004年。http://library.wolfram.com/infocenter/Conferences/5353/.

引用的关于Wolfram | Alpha

一百美元，百位数挑战问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“百美元，百位数挑战问题”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Hundred-DollarHundred-GigitalChallengeProblems.html

主题分类