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轮廓集成

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轮廓积分是计算轮廓积分围绕给定的轮廓在中复杂的飞机。由于全纯的功能，这样的积分可以简单地通过求和来计算的复合残留物 里面这个轮廓.

轮廓积分

让P（x）和Q（x）是多项式属于多项式的度 n个和米具有系数 b_n（b_n）, ...,b_0（b_0）和厘米, ...,c0（c）。拿着轮廓在中上半平面，替换x个通过z（z），然后写入z=回复（itheta）。那么

int_（-infty）^infty（P（z）dz）/（Q（z））=lim_（R->infty）int_（-R）^R（P（z）dz）/（Q（z））。
(1)

定义路径γ_R沿着真实的轴自-R（右）到R（右）并形成一个半圆弧，将的上半部分复平面. The残留定理然后给出

lim_（R->infty）int_（gamma_R）（P（z）dz）/（Q（z））=lim_（R->infty）int_（-R）^R（P（z）dz）/（Q（z））
(2)
=lim_（R->infty）int_0^pi（P（Re（itheta）））/（Q（Re
(3)
=2piisum_（I[z]>0）Res[（P（z））/（Q（z）]，
(4)

哪里结果[z]表示复合残留物.解决，

lim_（R->infty）int_（-R）^R（P（z）dz）/（Q（z。
(5)

定义

I_R=lim_（R->infty）int_0^pi（P（Re（itheta）））/（Q（Re
(6)
=lim_（R->infty）int_0^pi（b_n（Re^（itheta））^n+b_（n-1）（Re（ithet））^n-1）++b_0）/（c_m（Re^（itheta））^m+c_（m-1）+c_0）iRθ
(7)
=lim_（R->infty）int_0^pi（b_n）/（c_m）（Re^（itheta））^（n-m）iRθ
(8)
=lim_（R->infty）int_0^pi（b_n）/（c_m）R^（n+1-m）i（e^（itheta））^（n-m）数据集
(9)

并设置

ε=-（n+1-m），
(10)

然后方程(9)成为

I_R=lim_（R->infty）I/（R^epsilon）（b_n）/（c_m）int_0^pie^（I（n-m）θ）数据eta。
(11)

现在，

lim_（R->infty）R^（-epsilon）=0
(12)

对于ε>0.这意味着-n-1+m>=1，或m> =n+2,I_R=0，所以

int_（-infty）^infty（P（z）dz）/（Q（z）））=2piisum_（I[z]>0）Res[（P（z]）/（Q[z））]
(13)

对于m> =n+2.应用乔丹引理具有f（x）=P（x）/Q（x）.我们必须

lim_（x->infty）f（x）=0，
(14)

所以我们需要m> =n+1.

然后

int_（-infty）^infty（P（z））/（Q（z））e^（iaz）dz=2pisum_（I[z]>0）Res[（P（z））/（Q（z））e^（iaz）]
(15)

对于m> =n+1和a> 0个.因为这必须单独保存真实的和想像的部分，这个结果可以推广到

int_（-infty）^infty（P（x））/（Q（x）
(16)
int_（-infty）^infty（P（x））/（Q（x）。
(17)

另请参见

柯西积分公式,柯西积分定理,轮廓,轮廓积分,复杂残留,内外部定理,乔丹引理,正弦积分

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阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第406-409页，1985S.G.将军。“定义计算的应用积分和和。“§4.5英寸手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第51-63页，1999年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第353-356页，1953E.T.惠塔克。和G.N.Watson。“评估极限之间的某些类型的积分-英菲和+英菲，“”某些包含正弦的无穷积分和余弦，“和”乔丹引理。“§6.22-6.222英寸A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第113-117页，1990年。

参考Wolfram | Alpha

轮廓集成

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“轮廓集成。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ContourIntegration.html

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