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算术几何平均值

算术几何平均agm（a，b）两个数字的一和b条（通常也写年度股东大会（a、b）或M（a，b）)由开头定义a_0=a和b_0=b，然后迭代

a_（n+1）=1/2（a_n+b_n）
(1)
b（n+1）=平方（a_nb_n）
(2)

直到a_n=b_n达到所需的精度。

a_n（名词）和b_n（b_n）彼此汇聚

a（n+1）-b（n+1=1/2（a_n+b_n）-sqrt（a_nb_n）
(3)
=（a_n-2sqrt（a_nb_n）+b.n）/2。
(4)

但是平方根（b_n）<平方根（a_n）,所以

2b_n<2sqrt（a_nb_n）。
(5)

现在，添加a_n-b_n-2sqrt（a_nb_n）到每一侧

an+bn-2sqrt（a_nbn）<a_n-bn，
(6)

所以

a（n+1）-b（n+1。
(7)
AGM密封年度股东大会

顶部图显示agm（1，b）对于0≤b≤20和agm（a，b）对于0≤a，b≤200，而底部的两个图显示agm（1，z）对于的复杂值z（z）.

AGM在计算完整值时非常有用椭圆积分也可以用于查找反向切线.

它在Wolfram语言作为算术几何平均值[一,b条].

agm（a，b）可以用封闭形式表示为完成第一类椭圆积分 K（K）作为

agm（a，b）=（（a+b）pi）/（4K（（a-b）/（a+b）））。
(8)
AGMReIm公司AGM恐龙

算术几何平均值的定义也适用于复平面，如上文所示agm（1，z）.

算术几何平均值的勒让德形式如下所示

agm（1，x）=产品_（n=0）^infty1/2（1+k_n），
(9)

哪里k_0=x和

k（n+1）=（2sqrt（kN））/（1+kN）。
(10)

的特殊值agm（a，b）总结如下表所示。特别的价值

1/（agm（1，sqrt（2））=0.834662684167407318628。。。
(11)

（组织环境信息系统A014549号)被称为高斯的常数.它具有闭合形式

1/（agm（1，sqrt（2）））=2/piint_0^1（dt）/（sqrt（1-t^4））
(12)
=（[伽马（1/4）]^2）/（2pi^（3/2）平方（2））
(13)

其中，上述积分为柠檬酸函数高斯知道这个积分的算术几何平均值相等（Borwein和Bailey，2003年，第13-15页）。

agm（a，b）组织环境信息系统价值
agm（1,2）A068521号1.4567910310469068692...
agm（1,3）A084895型1.8636167832448965424...
agm（1,4）A084896型2.2430285802876025701...
agm（1,5）A084897号2.6040081905309402887...

AGM的导数由下式给出

部分/（部分）agm（a，b）=（agm（a，b））/（（a-b）bpi）[2agm（b）E（k）-bpi]
(14)
=π/（8kb）（（a+b）E（k）-2bK（k））/（[k（k）]^2），
(15)

哪里k=（a-b）/（a+b）,K（K）是一个完全椭圆积分第一类、和E（k）是完成第二类椭圆积分.

以下内容的系列扩展agm（1，b）由提供

agm（1，b）=-pi/（2ln（1/4b））+（pi[1+ln（1/4 b）]b^2）/（8[ln（3/4b）]^2）+O（b^4）。
(16)

AGM具有以下属性

λ（a，b）=年度股东大会（lambdaa，lambdab）
(17)
agm（a，b）=agm（1/2（a+b），sqrt（ab））
(18)
agm（1，平方（1-x^2））=agm（1+x，1-x）
(19)
agm（1，b）=（1+b）/2agm（1，（2sqrt（b））/（1+b））。
(20)

微分方程的解

（x^3-x）（d^2y）/（dx^2）+（3x^2-1）（dy）/（d x）+xy=0
(21)

由提供[agm（1+x，1-x）]^（-1）和[agm（1，x）]^（-1）.

算术几何平均的一个推广是

I_p（a，b）=int_0^infty（x^（p-2）dx）/（（x^p+a^p）^（1/p）（x^p+b^p）（（p-1）/p）），
(22)

它与微分方程的解有关

x（1-x^p）Y^（''）+[1-（p+1）x^p]Y^'-（p-1）x^（p-1”）Y=0。
(23)

这个案子p=2对应于算术几何平均via

I_2（a，b）=int_0^infty（dx）/（平方（（x^2+a^2）（x^2+b^2））
(24)
=pi/（2agm（a，b））。
(25)

这个案子p=3给出了立方相对值

I_3（a，b）=int_0^infty（xdx）/（[（a^3+x^3）（b^3+x*3）^2]^（1/3））
(26)
=（伽马^3（1/3）_2F_1（1/3，1/3；2/3；（a/b）^3））/（2pibsqrt（3））-（4api^2_2F_1
(27)

由Borwein和Borwein1990、1991和Borwein（1996）讨论。对于a、 b>0，该函数满足函数方程

I_3（a，b）=I_3[（a+2b）/3，[b/3（a^2+ab+b^2）]^（1/3））。
(28)

因此，对于迭代a_0=a和b_0=b和

a_（n+1）=（a_n+2b_n）/3
(29)
b（n+1）=[（b_n）/3（a_n^2+a_nb_n+b_n^2）]^（1/3），
(30)

所以

lim_（n->infty）a_n=lim_（n->infty）b_n=（I_3（1,1））/（I_3（a，b）），
(31)

哪里

I_3（1,1）=（2pi）/（3sqrt（3））。
(32)

另请参见

算术平均值,算术调和平均值,高斯常数,几何平均值,柠檬酸盐函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/ArithmeticGeometric Mean/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《算术几何平均值的过程》§17.6手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第571和598-5991972页。Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。博温，J.M。问题10281。“立体亲戚年度股东大会。"阿默尔。数学。每月 103, 181-183, 1996.博文，J·M·。和Borwein，P.B。圆周率&AGM:分析数论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，1987年。博温，J.M。和Borwein，P.B。“A卓越的三次迭代。“输入计算型方法与功能理论：程序。会议于3月13日至18日在智利瓦尔帕莱索举行，1989（编辑A.Dold、B.Eckmann、F.Takens、E.B.Saff、，S.Ruscheweyh，L.C.公司。萨利纳斯和R.S。瓦尔加）。纽约：Springer-Verlag，1990年。博温，J.M。和Borwein，P.B。“A雅各比身份和年度股东大会的立方对应物。"事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 323,691-701, 1991.出版社，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第906-907页，1992年。新泽西州斯隆。答：。序列A014549号,A068521号,A084895美元,A084896型,和A084897号在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

算术几何平均值

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“算术-几何平均值。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html

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