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算术几何平均值


算术几何平均agm(a,b)两个数字的一b条(通常也写年度股东大会(a、b)M(a,b))由开头定义a_0=ab_0=b,然后迭代

a_(n+1)=1/2(a_n+b_n)
(1)
b(n+1)=平方(a_nb_n)
(2)

直到a_n=b_n达到所需的精度。

a_n(名词)b_n(b_n)彼此汇聚

a(n+1)-b(n+1=1/2(a_n+b_n)-平方码(a_nb.n)
(3)
=(a_n-2sqrt(a_nb_n)+b.n)/2。
(4)

但是平方根(b_n)<平方根(a_n),所以

 2b_n<2sqrt(a_nb_n)。
(5)

现在,添加a_n-bn-2sqrt(a_nb_n)到每一侧

 an+bn-2sqrt(a_nbn)<a_n-bn,
(6)

所以

 a(n+1)-b(n+1。
(7)
AGM密封年度股东大会

顶部图显示agm(1,b)对于0≤b≤20agm(a,b)对于0≤a,b≤200,而底部的两个图显示agm(1,z)对于的复杂值z(z).

AGM在计算完整值时非常有用椭圆积分也可以用于查找反向切线.

它在Wolfram语言作为算术几何平均值[,b条].

agm(a,b)可以用封闭形式表示为完成第一类椭圆积分 K(K)作为

 agm(a,b)=((a+b)pi)/(4K((a-b)/(a+b)))。
(8)
AGMReIm公司AGM恐龙

算术几何平均值的定义也适用于复平面,如上所示agm(1,z).

算术几何平均值的勒让德形式如下所示

 agm(1,x)=产品_(n=0)^infty1/2(1+k_n),
(9)

哪里k_0=x

 k(n+1)=(2sqrt(kN))/(1+kN)。
(10)

的特殊值agm(a,b)总结如下表所示。特别的价值

 1/(agm(1,sqrt(2)))=0.83462684167407318628。。。
(11)

(组织环境信息系统A014549美元)被称为高斯的常数.它具有闭合形式

1/(agm(1,sqrt(2)))=2/piint_0^1(dt)/(sqrt(1-t^4))
(12)
=([伽马(1/4)]^2)/(2pi^(3/2)平方(2))
(13)

其中,上述积分为丘系线函数高斯知道这个积分的算术几何平均值相等(Borwein和Bailey,2003年,第13-15页)。

agm(a,b)组织环境信息系统价值
agm(1,2)A068521号1.4567910310469068692...
agm(1,3)A084895型1.8636167832448965424...
agm(1,4)A084896型2.2430285802876025701...
agm(1,5)A084897号2.6040081905309402887。。。

AGM的导数由下式给出

部分/(部分)agm(a,b)=(agm(a,b))/((a-b)bpi)[2agm(b)E(k)-bpi]
(14)
=π/(8kb)((a+b)E(k)-2bK(k))/([k(k)]^2),
(15)

哪里k=(a-b)/(a+b),K(K)是一个完全椭圆积分第一类、和E(k)完成第二类椭圆积分.

以下内容的系列扩展agm(1,b)由提供

 agm(1,b)=-pi/(2ln(1/4b))+(pi[1+ln(1/4 b)]b^2)/(8[ln(3/4b)]^2)+O(b^4)。
(16)

AGM具有以下属性

朗达格姆(a,b)=agm(λ,λ)
(17)
agm(a,b)=agm(1/2(a+b),sqrt(ab))
(18)
agm(1,平方(1-x^2))=agm(1+x,1-x)
(19)
agm(1,b)=(1+b)/2agm(1,(2sqrt(b))/(1+b))。
(20)

微分方程的解

 (x^3-x)(d^2y)/(dx^2)+(3x^2-1)(dy)/(d x)+xy=0
(21)

由提供[agm(1+x,1-x)]^(-1)[agm(1,x)]^(-1).

算术几何平均的一个推广是

 I_p(a,b)=int_0^infty(x^(p-2)dx)/((x^p+a^p)^(1/p)(x^p+b^p)((p-1)/p)),
(22)

它与微分方程的解有关

 x(1-x^p)Y^('')+[1-(p+1)x^p]Y^'-(p-1)x^(p-1”)Y=0。
(23)

这个案子p=2对应于算术几何平均via

I_2(a,b)=int_0^infty(dx)/(平方((x^2+a^2)(x^2+b^2))
(24)
=pi/(2agm(a,b))。
(25)

这个案子p=3给出了立方相对值

I_3(a,b)=int_0^infty(xdx)/([(a^3+x^3)(b^3+x*3)^2]^(1/3))
(26)
=(伽马^3(1/3)_2F_1(1/3,1/3;2/3;(a/b)^3))/(2pibsqrt(3))-(4api^2_2F_1
(27)

由Borwein和Borwein1990、1991和Borwein(1996)讨论。对于a、 b>0,此函数满足函数方程

 I_3(a,b)=I_3[(a+2b)/3,[b/3(a^2+ab+b^2)]^(1/3))。
(28)

因此,对于迭代a_0=ab_0=b

a_(n+1)=(a_n+2b_n)/3
(29)
b(n+1)=[(b_n)/3(a_n^2+a_nb_n+b_n^2)]^(1/3),
(30)

所以

 lim_(n->infty)a_n=lim_,
(31)

哪里

 I_3(1,1)=(2pi)/(3sqrt(3))。
(32)

另请参见

算术平均值,算术调和平均值,高斯常数,几何平均值,柠檬酸盐函数

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/ArithmeticGeometric Mean/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。《算术几何平均值的过程》§17.6手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第571和598-5991972页。Borwein,J.和Bailey,D。数学实验:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,2003年。J.M.博文。问题10281。“立体亲戚年度股东大会。"阿默尔。数学。每月 103, 181-183, 1996.博文,J.米。和Borwein,P.B。圆周率&AGM:分析数理论和计算复杂性研究。纽约:Wiley,1987年。J.M.博文。和Borwein,P.B。“A卓越的三次迭代。“输入计算型方法与功能理论:程序。会议于3月13日至18日在智利瓦尔帕莱索举行,1989(编辑A.Dold、B.Eckmann、F.Takens、E.B.Saff、,S.Ruscheweyh,L.C.公司。萨利纳斯和R.S。瓦尔加)。纽约:施普林格出版社,1990年。J.M.博文。和Borwein,P.B。“A雅各比身份和年度股东大会的立方对应物。"事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 323,691-701, 1991.出版社,W.H。;弗兰纳里,B.P。;Teukolsky,S.A。;和维特林,W.T。数字的FORTRAN:科学计算的艺术,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第906-907页,1992年。新泽西州斯隆。答:。序列A014549号,A068521号,A084895型,A084896型,A084897号在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

算术几何平均值

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“算术几何平均数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-Geometric-Mean.html

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