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亥姆霍兹微分方程

安椭圆偏微分方程式由提供

del ^2psi+k ^2psi=0，
（1）

哪里磅/平方英寸是一个标量函数和删除^2是标量拉普拉斯语,或

del^2F+k^2F=0，
(2)

哪里F类是一个向量函数和删除^2是拉普拉斯矢量（Moon and Spencer 1988，第136-143页）。

什么时候？k=0,亥姆霍兹微分方程简化为拉普拉斯的方程式.何时k^2<0（即，对于假想k个)，该方程成为扩散方程的空间部分。

亥姆霍兹微分方程可以通过变量分离仅在11个坐标系中，其中10个（除共焦抛物面坐标)是共焦的椭球形的系统：笛卡尔,共焦的椭球形的,共焦抛物面,圆锥形的,圆柱形的,椭圆柱形,扁圆的球状的,抛物面的,抛物线圆柱形的,长椭球体,和球面坐标（艾森哈特1934ab）。拉普拉斯方程（亥姆霍兹差速器方程式k=0)在两个附加项中是可分离的双球面的协调和环形坐标.

如果亥姆霍兹方程在三维坐标系中是可分离的，那么莫尔斯和费什巴赫（1953，第509-510页）表明

（h1h2h3）/（hn^2）=fn（un）gn（ui，uj），
(3)

哪里我=j=n个.这个拉普拉斯语因此是属于表格

del^2=1/（h1h2h3）{g1（u2，u3）partial/（partial_1）[f1（u1）partial/（partialu_1）]+g2（u1，u_3）partial./（partialu_2）[f2（u_2）partial/，
(4)

它简化为

del^2=1/（h1^2f1）partial/（partial_1）[f1（u_1）paratil/（partialu_1。
(5)

这样的坐标系遵循罗伯逊条件，这意味着Stäckel行列式是表单的

S=（h_1h_2h_3）/（f1（u_1）f2（u_2）f_3（u_3））。
(6)

另请参见

拉普拉斯方程,泊松方程,变量的分离,球面贝塞尔微分方程式,Stäckel行列式

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工具书类

艾森哈特，L.P。“欧几里得3-空间中的可分离系统。”物理审查 45第427-428页，1934a页。艾森哈特，L.P.公司。“Stäckel的可分离系统。”安。数学。 35,284-3051934b年。艾森哈特，L.P。“施罗德丁的潜力方程是可分离的。"物理学。版次。 74, 87-89, 1948.克里齐斯，E.E。；Tsiboukis，T.D.，T.博士。；帕纳斯，S.M。；和Tegopoulos，J.A。《涡流：理论与应用》程序。电气与电子工程师协会 80,1559-1589, 1992.Moon，P.和Spencer，D.E。“十一坐标系统”和“矢量亥姆霍兹方程”。“第1条和第5条字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第1-48和136-143页，1988莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第125-126页，第271页和第509-5101953页。Zwillinger，D.（编辑）。CRC公司标准数学表格和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第417页，1995D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第129页，1997

参考Wolfram | Alpha

亥姆霍兹微分方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《亥姆霍兹微分方程》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquation.html

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