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环形坐标

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环形坐标环形坐标3D

一个系统曲线坐标通常使用几种不同的符号。在这项工作中（u、v、φ）使用，而Arfken（1970）使用（xi，eta，φ）Moon and Spencer（1988）使用（eta，θ，psi）环形坐标定义为

x个=（asinhvcospi）/（coshv-cosu）
(1)
年=（asinhvsinphi）/（coshv-cosu）
(2)
z（z）=（asinu）/（coshv-cosu），
(3)

哪里辛赫是双曲正弦和科斯赫是双曲余弦.坐标满足u英寸[0,2pi）,[0，infty中的v）、和phi英寸[0,2pi）.

常数曲面v（v）由磁环

x^2+y^2+z^2+a^2=2平方（x^2+y^2）cothv，
(4)

常数曲面u个球形碗旁边

x^2+y^2+（z-acotu）^2=（a^2）/（sin^2u），
(5)

球体的中心位于（0,0，acotu）具有半径cscu公司|

2azcotu=x^2+y^2+z^2-a^2，
（6）

和常数曲面φ通过

tanphi=y/x。
(7)

这个比例因子是

胡=a/（coshv cosu）
(8)
高电压=a/（coshv-cosu）
(9)
hφ=（asinhv）/（coshv-cosu）。
(10)

这个拉普拉斯语是

del^2=（cschv（coshv-cosu）^3）/（a^2）[偏/（partialu）（（sinhv）/（coshv-cosu）偏/（partialu））+偏/（partialv）（（sinhv）/（coshv-cosu）偏/（partialv））+偏/（partialphi）（（cschv）/（coshv-cosu）偏/（partialphi））]。
(11)

这个亥姆霍兹微分方程在环形坐标中不可分离，但拉普拉斯的方程式是。

另请参见

双球面坐标,平环循环坐标,拉普拉斯方程——环面坐标

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工具书类

Arfken，G.“环形坐标(xi（西）,埃塔,φ).“第2.13条数学物理学家方法，第二版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第112-115页，1970再见，W.E。安傅里叶级数、球面、圆柱和椭球面初论谐波，及其在数学物理问题中的应用。纽约：多佛，第2641959页。Moon，P.和Spencer，D.E。“环形协调（η、θ、psi）."图4.04英寸字段理论手册，包括坐标系、微分方程及其解决方案，第2版。纽约：Springer-Verlag，第112-115页，1988年。莫尔斯，下午。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第666页，1953年。

引用的关于Wolfram | Alpha

环形坐标

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“环形坐标。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ToroidalCoordinates.html

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