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第一类贝塞尔函数

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贝塞尔J

第一类贝塞尔函数J_n（x）定义为贝塞尔微分方程

x^2（d^2y）/（dx^2）+x（dy）/（d x）+（x^2-n^2）y=0
(1)

它们在原点处是非奇异的。它们有时也称为柱面函数或柱面谐波。上图显示J_n（x）对于n=0, 1, 2, ..., 5.符号J_（z，n）首先由Hansen（1843）使用，随后由Schlömilch（1857）表示现在所写的内容J_n（2z）（沃森1966年，第14页）。然而，汉森的定义函数本身的生成功能

e^（z（t-1/t）/2）=sum_（n=-infty）^inftyt^nJ_n（z）。
(2)

与现代版相同（Watson 1966，第14页）。贝塞尔使用了符号确认（_k）表示现在所称的第一类贝塞尔函数（Cajori 1993，第2卷，第279页）。

贝塞尔函数J_n（z）也可以由轮廓完整的

J_n（z）=1/（2pii）∮e^（（z/2）（t-1/t））t^（-n-1）dt，
(3)

等高线包围原点并沿逆时针方向穿过（Arfken 1985，第416页）。

第一类贝塞尔函数在Wolfram语言作为贝塞尔J[努,z（z）].

要解微分方程，请应用弗罗贝纽斯方法使用系列解决方案表单的

y=x^ksum_（n=0）^inftya_nx^n=sum_（n=0.）^inttya_nx~（n+k）。
(4)

插入(1)收益率

x^2sum_（n=0）^infty（k+n）
(5)
sum_（n=0）^infty（k+n）（k+n-1）a_nx^（k+n）+sum_（n=0）^infty（k+n）a_nx^（k+n）+sum_（n=2）^inftya_（n-2）x^（k+n）-m^2sum_。
(6)

这个指示方程，通过设置获得n=0,是

a0[k（k-1）+k-m^2]=a0（k^2-m^2）=0。
(7)

自a_0（零）定义为第一个非零术语，k^2-m^2=0，所以k=+/-米现在，如果k=米,

sum_（n=0）^infty[（m+n）（m+n-1）+（m+n）-m^2]a_nx^
(8)
sum_（n=0）^infty[（m+n）^2-m^2]a_nx^
(9)
sum_（n=0）^inftyn（2m+n）a_nx^（m+n）+sum_（n=2）^inftya_（n-2）x^（m+n）=0
(10)
a_1（2m+1）x^（m+1）+总和（n=2）^系数[a_nn（2m+n）+a（n-2）]x^。
(11)

首先，看看特殊情况m=-1/2，然后(11)成为

sum_（n=2）^infty[a_nn（n-1）+a_（n-2）]x^（m+n）=0，
(12)

所以

a n=-1/（n（n-1））a（n-2）。
(13)

现在让我们n=2升,哪里l=1,2, ....

a_（2l）=-1/（2l（2l-1））a_（2l-2）
(14)
=（-1）^l）/（[2l（2l-1）][2（l-1）（2l-3）]。。。[2·1·1]）a0
(15)
=（（-1）^l）/（2^ll！（2l-1）！！）a_0，
(16)

使用身份2^ll！（2l-1）=（2升）！，给出

a_（2l）=（（-1）^l）/（2l！）a_0。
(17)

同样，让n=2l+1,

a_（2l+1）=-1/（（2l+1）（2l））a_（2l-1）=（（-1）^l）/（[2l（2l+1）][2（l-1）（2l-1）]。。。[2·1·3][1]）a1，
(18)

使用身份2^ll！（2l+1）=（2l+1）！，给出

a_（2l+1）=（（-1）^l）/（2^ll！（2l+1）！！）a_1=（（-1）^l）/（（2l+1）！）a_1。
(19)

重新插入（◇）k=m=-1/2给予

年=x^（-1/2）总和_（n=0）^（infty）a_nx^n
(20)
=x^（-1/2）[sum_（n=1,3,5，…）^（infty）a_nx^n+sum_（n=0,2,4，…）^（infty）a_nx^n]
(21)
=x^（-1/2）[sum_（l=0）^（infty）a_（2l）x^
(22)
=x^（-1/2）[a_0sum_（l=0）^（infty）（（-1）^l）/（2l）！）x^
(23)
=x^（-1/2）（a0cosx+a1sinx）。
(24)

这个贝塞尔函数订单的+/-1/2因此定义为

J_（-1/2）（x）=平方（2/（像素））cosx
(25)
J_（1/2）（x）=平方（2/（像素））正弦，
(26)

因此m=+/-1/2是

y=a_0^’J_（-1/2）（x）+a_1^’J _（1/2）（x）。
(27)

现在，考虑一位将军米=-1/2。方程（◇）要求

a_1（2米+1）=0
(28)
[a_nn（2m+n）+a_（n-2）]x^（m+n）=0
(29)

对于n=2个,3, ..., 所以

a_1=0
(30)
a_n（名词）=-1/（n（2m+n））a（n-2）
(31)

对于n=2个,3, .... 让n=2l+1，其中l=1, 2, ..., 然后

a_（2l+1）=-1/（（2l+1）[2（m+1）+1]）a（2l-1）
(32)
=…＝f（n，m）a_1＝0，
(33)

哪里f（n，m）是的函数我和米通过将递归关系向下迭代到a_1.现在让我们n=2升,哪里l=1,2, ..., 所以

a_（2l）=-1/（2l（2m+2l））a_（2l-2）
(34)
=-1/（4l（m+l））a（2l-2）
(35)
=（-1）^l）/（[4l（m+l）][4（l-1）（m+l-1）]。。。[4·（m+1）]）a_0。
(36)

重新插入（◇），

年=sum_（n=0）^（infty）a_nx^（n+m）=总和_（n=1,3,5，…）^
(37)
=sum_（l=0）^（infty）a_（2l+1）x^（2l+m+1）+sum_（l=0）^（infty）a_（2l）x^（2l+m）
(38)
=a_0sum_（l=0）^（infty）（（-1）^l）/（[4l（m+l）][4（l-1）（m+l-1）]。。。[4（m+1）]）x^（2l+m）
(39)
=a_0sum_（l=0）^（infty）（[（-1）^lm（m-1）…1]x^（2l+m））/（[4l（m+l）][4（l-1）（m+l-1）]。。。[4（m+1）m…1]）
(40)
=a_0sum_（l=0）^（infty）（（-1）^lm！）/（2^（2l）l！（m+l）！）x ^（2l+m）。
(41)

现在定义

J_m（x）=sum_（l=0）^infty（（-1）^l）/（2^（2l+m）l！（m+l）！）x^（2l+m），
(42)

其中阶乘可以推广到伽马函数对于非积分米。然后，上述等式变为

y=a_02^毫米！J_m（x）=a_0^’J_m。
(43)

回到方程式（◇）并检查案例k=-米,

a1（1-2m）+总和（n=2）^系数[a_nn（n-2m）+a（n-2）]x^（n-m）=0。
(44)

然而米是任意的，所以对于+米和-米.因此，我们可以自由更换-米具有-|米|，所以

a_1（1+2|m|）+sum_（n=2）^infty[a_nn（n+2|m|）+a_（n-2）]x^（|m|+n）=0，
(45)

我们得到了与之前相同的解，但是米替换为|米|.

J_m（x）={sum_（l=0）^（infty）（（-1）^l）/（2^（2l+|m|）l。
(46)

我们可以联系J_m（x）和J_（-m）（x）（当米是一个整数)通过写作

J_（-m）（x）=sum_（l=0）^infty（（-1）^l）/（2^（2l-m）l！（l-m）！）x ^（2l-m）。
(47)

现在让我们l=l^'+m.然后

J_（-m）（x）=sum_（l^'+m=0）^（infty）（（-1）^！l！）x^（2l^'+m）
(48)
=sum_（l^'=-m）^（-1）（（-1）^！（l^'+m）！）x^（2l^'+m）+sum_（l^'=0）^（infty）（（-1）^！（l^'+m）！）x^（2l^'+m）。
(49)

但是我^'=英菲对于l^'=-m-1,所以分母是无限的左边是零。因此，我们有

J_（-m）（x）=sum_（l=0）^（infty）（（-1）^〔l+m〕）/（2^（2l+m）l！（l+m）！）x^（2l+m）
(50)
=（-1）^mJ_m（x）。
(51)

请注意贝塞尔微分方程是二阶的，所以必须有两个线性无关的解。我们发现两者都是为了|米|=1/2.对于一般非整数阶，独立解为J_米和J_（-m）.何时米是一个整数、一般（真实）解决方案是表单的

Z_m=C_1J_m（x）+C_2Y_m（x），
(52)

哪里J_米是第一类贝塞尔函数，年_月（又名。N_m（N）)是贝塞尔第二类功能（也称为Neumann函数或Weber函数），以及C_1和C_2是常量。复杂的解决方案由汉克尔功能（也称为第三类贝塞尔函数）。

贝塞尔函数为正交的在里面[0，a]根据

int_0^aJ_nu（alpha_（num）rho/a）J_nu，
(53)

哪里字母_（数字）是米第个的零杰努和增量（mn）是克罗内克三角洲（阿夫肯1985年，第592页）。

除非是在200万是一个负整数,

J_m（z）=（z^（-1/2））/（2^（2m+1/2）i^（m+1/2）伽马（m+1））m_（0，m）（2iz），
(54)

哪里伽马（x）是伽马函数和M_（0，M）是一个惠特克函数.

就a而言汇合的第一类超几何函数，写入贝塞尔函数

J_nu（z）=（（1/2z）^nu）/（伽马（nu+1））_0F_1（nu+1；-1/4z^2）。
(55)

用微分恒等式表示高阶贝塞尔函数J_0（z）是

J_n（z）=i^nT_n（id/（dz）），
(56)

哪里T_n（z）是一个的切比雪夫多项式第一类贝塞尔函数的渐近形式为

J_m（z）约1/（伽马（m+1））（z/2）^m
(57)

对于z<<1和

J_m（z）近似平方（2/（piz））cos（z-（mpi）/2-pi/4）
(58)

对于z> >|m^2-1/4|（修正Abramowitz和Stegun的状况，1972年，第364页）。

派生恒等式是

d/（dx）[x^mJ_m（x）]=x^mJ（m-1）（x）。
(59)

积分恒等式为

int_0^uu^'J_0（u^'）du^'=uJ_1（u）。
(60)

一些和恒等式是

sum_（k=-infty）^inftyJ_k（x）=1
(61)

（它来自生成函数（◇）t=1),

1=[J_0（x）]^2+2sum_（k=1）^infty[J_k（x）]^2
(62)

（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第363页），

1=J_0（x）+2sum_（k=1）^inftyJ_（2k）（x）
(63)

（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第361页），

0=sum_（k=0）^（2n）（-1）^kJ_k（z）J_（2n-k）（z）+2sum_
(64)

对于n> =1（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第361页），

J_n（2z）=总和_（k=0）^nJ_k（z）J_（n-k）（z）+2sum_（k=1）^系数（-1）^kJ_k
(65)

（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第361页），以及雅各布·安格尔膨胀

e^（izcostheta）=总和_（n=-infty）^inftyi^nJ_n（z）e^，
(66)

也可以写

e^（izcostheta）=J_0（z）+2sum_（n=1）^inftyi^nJ_n（z）cos（ntheta）。
(67)

贝塞尔函数加法定理状态

J_n（y+z）=总和（m=-infty）^系数J_m（y）J_（n-m）（z）。
(68)

各种积分可以用贝塞尔函数表示

J_n（z）=1/piint_0^皮科斯（zsintheta-ntheta）数据集，
(69)

哪个是贝塞尔第一积分,

J_n（z）=（i^（-n））/paint_0^pie^（izcostheta）cos（ntheta）dtheta
(70)
J_n（z）=1/（2pii^n）int_0^（2π）e^（izcosphi）e~（inphi）dphi
(71)

对于n=1,2, ...,

J_n（z）=2/pi（z^n）/（（2n-1）！！）int_0^（pi/2）sin^（2n）ucos（zcosu）du
(72)

对于n=1,2, ...,

J_n（x）=1/（2pii）int_gammae^（（x/2）（z-1/z））z^（-n-1）dz
(73)

对于n> -1/2个.贝塞尔函数被归一化，以便

int_0^inftyJ_n（x）dx=1
(74)

对于正积分（和实数）n个.涉及的积分J_1（x）包括

int_0^infty[（J_1（x））/x]^2dx=4/（3pi）
(75)
int_0^infty[（J_1（x））/x]^2xdx=1/2。
(76)

第一类贝塞尔函数的比值有继续的分数

（J_（n-1）（z））/（J_n（z）=（2n）/z-（z/（2（n+1）））/
(77)

（1948年《华尔街日报》，第349页）。

贝塞尔J0ReIm
BesselJ0轮廓

特殊情况n=0给予J_0（z）作为系列

J_0（z）=总和_（k=0）^系数（-1）^k（（1/4z^2）^k）/（（k！）^2）
(78)

（Abramowitz和Stegun 1972，第360页），或积分

J_0（z）=1/piint_0^pie^（izcosheta）数据eta。
(79)

另请参见

第二类贝塞尔函数,贝塞尔函数零点,德拜的渐近表示,Dixon-Ferra公式,汉森-贝塞尔公式,Kapteyn系列,克奈瑟·索末菲公式,梅勒贝塞尔函数公式,改良贝塞尔第一类功能,被改进的第二类贝塞尔函数,尼科尔森的公式,泊松贝塞尔函数公式,瑞利函数,Schläfli氏公式,Schlömilch系列,索末菲公式,索尼·沙夫海特林公式,沃森公式,屈臣·尼科尔森公式,韦伯间断积分,韦伯公式,韦伯·索宁公式,韦里奇公式 在数学世界课堂上探索这个主题

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“贝塞尔函数J和Y（Y）”第9.1条手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第358-3641972页。Arfken，G.“贝塞尔函数第一类，J_nu（x）和“正交性”。“§11.1和11.2英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第573-591页和591-5961985年。卡乔里，F。A类数学符号史，卷。 1-2.纽约：多佛，1993年。Hansen，私人助理。“埃里普森·冯·贝里比格（Ellipsen von beliebiger）中的绝对圣龙根（Ermittelung der absoluten Störungen）Excentricität und Neigung，I。”斯特恩瓦特·西贝里（Schriften der Sternwarte Seeberg）。哥达，1843年。莱默，D.H。“贝塞尔的算术周期功能。"安。数学。 33, 143-150, 1932.《狮子座》，F、。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，1983年。莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。方法理论物理学，第一部分。纽约：McGraw-Hill，第619-622页，1953O.X·施勒米尔奇。“Ueber die Bessel's chen函数。”Z.für数学。u.物理。 2, 137-165, 1857.斯潘尼尔，J。和Oldham，K.B。“贝塞尔系数J_0（x）和J_1（x）”和“贝塞尔函数J_nu（x）“Chs.52-53英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第509-520和521-532页，1987墙体，H.S。分析连分式理论。纽约：切尔西，1948年。沃森，G.编号。A类贝塞尔函数理论论著，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1966年。

参考Wolfram | Alpha

贝塞尔函数第一类

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《第一类贝塞尔函数》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Bessel第一类函数.html

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