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贝塞尔微分方程

贝塞尔微分方程是线性的二阶的常微分方程由提供

x^2（d^2y）/（dx^2）+x（dy）/（d x）+（x^2-n^2）y=0。
(1)

等价地，除以x ^2（x ^2）,

（d^2年）/（dx^2）+1/x（dy）/（d x）+（1-（n^2）/（x^2”）y=0。
(2)

此方程的解定义了贝塞尔函数 J_n（x）和Y_n（x）.这个方程有一个正则项奇异性在0和an不规则的奇异性在英菲.

鲍曼（1958）给出的贝塞尔微分方程的转换版本为

x^2（d^2y）/（dx^2）+（2p+1）x（dy）/（dx）+（a^2x^（2r）+β^2）y=0。
(3)

解决方案是

y=x^（-p）[C_1J_（q/r）（α/rx^r）+C_2Y_（q/r）（α/rx^r）]，
(4)

哪里

q=平方（p^2-beta^2），
(5)

J_n（x）和Y_n（x）是第一类贝塞尔函数和第二类、和C_1和C_2是常数。另一种形式是y=x^alphaJ_n（β^γ）,eta=yx^（-a）、和xi=βγ（鲍曼1958年，第117页），然后

（d^2y）/（dx^2）-（2alpha-1）/x（dy）/（d x）+（β^2gamma^2x^（2gamma-2）+（α^2-n^2gama^2）/（x^2”）y=0。
(6)

解决方案是

对于整数n，y={x^alpha[AJ_n（betax^gamma）+BY_n（betax^gamma）]。
(7)

另请参阅

Airy函数,愤怒功能,贝,Ber公司,贝塞尔功能,贝塞尔函数Neumann系列,布尔热假说,加泰罗尼亚语积分,圆柱形函数,迪尼膨胀,Hankel函数,汉克尔的完整的,半球形函数,Kapteyn系列,利普希茨的完整的,Lommel微分方程,Lommel函数,Lommel的积分,帕西瓦尔积分,泊松完整的,拉马努扬积分,里卡蒂微分方程,索宁积分,Struve函数,韦伯功能,韦伯的间断积分

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。§9.1.1英寸手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，1972年。F.鲍曼。介绍贝塞尔函数。纽约：多佛，1958年。莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第550页，1953年。兹威林格，D.（编辑）。CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第413页，1995D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第121页，1997

参考Wolfram | Alpha

贝塞尔微分方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“贝塞尔微分方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html

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