第二类贝塞尔函数

第二类贝塞尔函数（例如，Gradshteyn和Ryzhik 2000，第703页，等式6.649.1），有时也表示（例如，Gradshteyn和Ryzhik 2000，第657页，等式6.518），是解决贝塞尔差速器方程式这在原点是奇异的。第二类贝塞尔函数也称为Neumann函数或Weber函数。上图显示对于, 1, 2, ..., 5.第二类贝塞尔函数是在中实现Wolfram语言作为贝塞利[努,z（z）].

让成为第一解决方案成为另一个（因为贝塞尔微分方程是二阶的,有两个线性无关解决方案）。然后

			（1）
			(2)

采取(1)减去(2),

(3)

(4)

所以,哪里是一个常数。除以,

(5)

(6)

重新安排和使用给予

			(7)
			(8)

哪里是所谓的第二类贝塞尔函数。

可以由定义

（9）

（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第358页），其中是一个贝塞尔第一类函数和，用于一个整数由系列

(10)

哪里是地高玛函数（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第360页）。

该函数具有积分表示

			(11)
			(12)

（Abramowitz和Stegun，1972年，第360页）。

渐近级数是

		${2/pi[ln（1/2x）+γ]m=0，x<<1；-（γ（m））/pi（2/x）^m！=0，x<<1$	(13)
			(14)

哪里是一个伽玛函数.

对于特殊情况,由序列给出

$Y_0（z）=2/pi{[ln（1/2z）+γ]J_0（z）+总和_（k=1）^系数（-1）^（k+1）H_k（（1/4z^2）^k）/（（k！）^2）}，$

(15)

（Abramowitz和Stegun 1972年，第360页），其中是欧拉·马斯切罗尼常数和是一个谐波数.

另请参见

第一类贝塞尔函数,布尔热假说,Hankel函数,已修改第一类贝塞尔函数,已修改第二类贝塞尔函数

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更多需要尝试的事情：

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“贝塞尔函数

和

”第9.1条手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第358-3641972页。Arfken，G.“Neumann函数，第二类贝塞尔函数，

第11.3节数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第596-604页，1985I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。方法理论物理学，第一部分。纽约：McGraw-Hill，第625-627页，1953Spanier，J.和Oldham，K.B。“Neumann函数

."第54章英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第533-5421987页。沃森，G.编号。A类贝塞尔函数理论论著，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1966年。

参考Wolfram | Alpha

的贝塞尔函数第二类

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《第二类贝塞尔函数》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionsSecondKind.html